INTRODUÇÃO À ÓPTICA 1

01. Quando o Sol está a pino, uma menina coloca um lápis de 7,0 x 10^–3 m de diâmetro, paralelamente ao solo, e observa a sombra por ele formada pela luz do Sol. Ela nota que a sombra do lápis é bem nítida quando ele está próximo ao solo mas, à medida que vai levantando o lápis, a sombra perde a nitidez até desaparecer, restando apenas a penumbra. Sabendo-se que o diâmetro do Sol é de 14 x 10⁸ m e a distância do Sol à Terra é de 15 x 10¹⁰ m, pode-se afirmar que a sombra desaparece quando a altura do lápis em relação ao solo é de:

a) 1,5 m     b) 1,4 m     c) 0,75 m     d) 0,30 m     e) 0,15 m

H/h = D/d → 15.10¹⁰/h = 14.10⁸/7.10^-3  → 15.10¹⁰/h = 2.10¹¹ → h = 15.10¹⁰/2.10¹¹ = 7,5.10^-1 = 0,75 m.

02. Uma câmara escura cúbica, de lado 10 cm, encontra-se a uma distância de 20 m de uma árvore de altura 8 m. Qual a altura da imagem projetada sobre o anteparo fosco da câmara escura?

a) 4 cm     b) 5 cm     c) 6 cm     d) 7 cm     e) 8 cm

H/h = D/d → 800/h = 2000/10  → 800/h = 200 → h = 800/200 = 4 cm.

(Obs.: H = 8 m = 800 cm e D = 20 m = 2000 cm)

03. Mediante câmara escura de orifício, obtém-se uma imagem do Sol, conforme o esquema abaixo:

Dados:

distância do Sol à Terra a = 1,5 x 10¹¹ m

distância do orifício ao anteparo b = 1,0 m

diâmetro da imagem d = 9,0 mm

Para o diâmetro D do Sol resulta, aproximadamente:

a) 1,7 x 10¹⁰ m    b) 1,4 x 10⁹ m    c) 1,7 x 10⁷ m    d) 1,4 x 10¹² m

H/h = D/d → 1,5.10¹¹/h = D/9.10^-3  → h = 1,5.10¹¹.9.10^-3 = 13,5.10⁸ = 1,35.10⁹ = 1,4.10⁹ m.

04. Uma pessoa de 1,8 m de altura está em pé ao lado de um edifício de altura desconhecida. Num dado instante, a sombra dessa pessoa, projetada pela luz solar, tem uma extensão de 3 m, enquanto a sombra do edifício tem 80 m de extensão. Qual a altura do edifício?

a) 12 m     b) 24 m     c) 36 m     d) 48 m

H/h = D/d → H/1,8 = 80/3  → H = 80.1,8/3 = 80.0,6 = 48 m.

05. Um homem de 2,0 m de altura coloca-se a 0,5 m de uma câmara escura (de orifício) de comprimento 30 cm. O tamanho da imagem formada no interior da câmara

é:

a) 0,8 m     b) 1,0 m     c) 1,2 m     d) 1,4 m

H/h = D/d → 2/h = 0,5/0,3  → 2/h = 5/3 →  h = 6/5 = 1,2 m.

06. Um aparelho fotográfico rudimentar é constituído por uma câmara escura com um orifício numa face e um anteparo de vidro fosco na face oposta. Um objeto luminoso em forma de L se encontra a 2 m do orifício e a sua imagem no anteparo é 5 vezes menor que o seu tamanho natural. Determine a largura d da câmara.

a) 15 cm     b) 25 cm     c) 40 cm     d) 100 cm

H/h = D/d → H/(H/5) = 2/d  → 5H/H = 2/d →  5 = 2/d →  d = 2/5 = 0,4 m = 40 cm.

07. Na figura abaixo, estão representados um morro, uma árvore e um observador (O). A altura da árvore é de 50 m e a distância entre ela e o observador, de 300 m. A

distância entre o observador e o ponto M é de 800 m. Qual é, aproximadamente, a altura (H) do morro se, do ponto de vista do observador, o topo da árvore e o topo do morro estão alinhados?

a) 133 m     b) 512 m     c) 1 100 m     d) 1 831 m     e) 2 400 m

H/50 = 800/300 → H = 50.8/3 = 400/3 = 133 m.

08. Um observador nota que um edifício projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento no instante em que um muro de 1,5 m de altura projeta uma sombra

de 50 cm. Determine a altura do edifício:

a) 100 m     b) 25 m     c) 10 m     d) 90 m

I. H/10 = 150/50 → H/10 = 3 → H = 30 m.

II. Como temos 10 andares logo cada andar apresentará uma altura de 3 m (30/10 = 3 m).

09. Um garoto verifica que, se colocar verticalmente um lápis de 10 cm de comprimento a 50 cm de seus olhos, ele consegue cobrir visualmente 10 andares de um prédio situado a 150 m de distância. Determine a altura de cada andar do prédio.

a) 2 m     b) 2,5 m     c) 3 m     d) 3,5 m     e) 3,75 m

I. H/10 = 150/50 → H/10 = 3 → H = 30 m.

II. Como temos 10 andares logo cada andar apresentará uma altura de 3 m (30/10 = 3 m).

10. Um edifício projeta no solo uma sombra de 40 m. No mesmo instante, um observador toma uma haste vertical de 20 cm e nota que sua sombra mede 0,80 m.

A altura do edifício é de:

a) 4 m     b) 8 m     c) 10 m     d) 20 m     e) 40 m

H/0,2 = 40/0,8 → H/2 = 40/8 → H = 80/8 = 10 m.

11. Uma câmara escura de orifício tem um anteparo fosco quadrado de 10 cm de lado. A distância do orifício até o anteparo é de 30 cm. Quando se focaliza uma árvore

de uma certa distância, sua imagem excede 2 cm do tamanho da altura do anteparo. Aumentando em 1,50 m a distância entre a árvore e a câmara, a imagem adquire o mesmo tamanho do lado do anteparo. A altura da árvore é de:

a) 7,5 m     b) 9 m     c) 3 m     d) 6 m     e) 4,5 m

I. H/h = D/d → H.d = h.D = 12.D (Obs.: h = 10 + 2 = 12 cm e d = 30 cm)

II. H/h’ = D’/d → H.d = h’.D’ = 10.(D + 150) = 10D + 1500.

III. Igualando as duas equações, temos:

12D = 10D + 1500 → 2D = 1500 → D = 1500/2 = 750 cm.

IV. Substituindo o valor de D na primeira equação temos:

H.d = 12D → H.30 = 12.750 → H.3 = 12.75 → H = 12.75/3 = 4.75 = 300 cm = 3 m.

Obs.: se quiserem usar a segunda equação a resposta será a mesma, veja:

H.d = 10D + 1500 → H.30 = 10.750 + 1500 → H.30 =7500 + 1500 → H.30 =9000 → H = 9000/30 = 300 cm = 3 m.

12. A relação entre os tamanhos das imagens de um indivíduo de 1,80 m de altura, formadas numa câmara escura através de um orifício, quando o indivíduo se encontra, respectivamente, às distâncias de 24 m e 36 m, será:

a) 3/2     b) 2/3     c) 1/3     d) 1/25     e) 2/25

I. H/h₁ = D/d → H.d = h₁.D = h₁.24.

II. H/h₂ = D’/d → H.d = h₂.D’ = h₂.36.

III. Igualando as duas equações, temos:

h₁.24 = h₂.36 → h₁/h₂  = 36/24 = 3/2. (os termos foram divididos por 12)

13. A um aluno foi dada a tarefa de medir a altura do prédio da escola que freqüentava. O aluno, então, pensou em utilizar seus conhecimentos de óptica geométrica e mediu, em determinada hora da manhã, o comprimento das sombras do prédio e dele próprio projetadas na calçada (L e l, respectivamente). Facilmente, chegou à conclusão de que a altura do prédio da escola era de cerca de 22,1 m. As medidas por ele obtidas para as sombras foram L = 10,4 m e l = 0,8 m. Qual é a altura do aluno?

a) 1,5 m     b) 1,7 m     c) 2,0 m     d) 2,4 m     e) 3,0 m

H/h = L/l → 22,1/h = 10,4/0,8  → 22,1/h = 104/8  → 22,1/h = 3 → h = 22,1/3 = 1,7 m.

14. Um feixe luminoso, partindo de fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de diâmetro. Sabendo-se que a distância da fonte ao disco é 1/3 (um terço) da

distância deste ao anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo são paralelos, pode-se afirmar que o raio da sombra projetada sobre o anteparo é de:

a) 20 cm     b) 25 cm     c) 30 cm     d) 40 cm     e) 15 cm

I. 10/h = (x/3)/l(x + x/3) → 10/h = (x/3)/l(4x/3) → 10/h = 1/4  → h = 4.10 = 40 cm.

II. R = h/2 = 40/2 = 20 cm.

15. Entre uma fonte pontual e um anteparo, coloca-se um objeto opaco de forma quadrada e de 30 cm de lado. A fonte e o centro da placa estão numa mesma reta que, por sua vez, é perpendicular ao anteparo. O objeto encontra-se a 1,50 m da fonte e a 3,00 m do anteparo. A área da sombra do objeto, produzida no anteparo, em m², é:

a) 0,18     b) 0,36     c) 0,81     d) 0,54     e) 0,60

I. 0,3/h = 1,5/(1,5 + 3) → 0,3/h = 1,5/4,5 → 0,3/h = 1/3 →  h = 0,3.3 = 0,9 m.

II. A = h² = 0,9² = 0,81 m².

16. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir

a) 30 cm     b) 45 cm     c) 50 cm     d) 80 cm     e) 90 cm

I. H/h = D/d → H/180 = 200/60 → H = 180.200/60 = 3.200 = 600 cm.

II. H/h = D/d → 600/180 = 150/d → d = 180.150/600 = 180/4 = 45 cm.

OU

H/180 = 200/60 e H/180 = 150/d, igualando as duas equações, temos:

200/60 = 150/d → d = 60.150/200 = 6.15/2 = 90/2 = 45 cm.

17. Uma pessoa se encontra a 10 metros de uma câmera escura. Sua imagem, projetada na parede posterior da câmera, tem comprimento de 20 cm. Se a pessoa se aproximar 2 metros da câmera, qual a variação percentual no tamanho da sua imagem?

a) 25%     b) 20%     c) 15%     d) 10%     e) 5%

H/h = D/d  →  H/20 = 10/d → H.d = 200 , e na segunda situação H/h’ = D’/d  →  H/h’ = 8/d → H.d = 8h’ , logo 8h’ = 200 → h’ = 25 cm, então ∆h% = (25 – 20)/20 = 5/20 = 0,25 = 25 %.

OU

20 cm ---------------- 100%

Δh = 5 cm ----------- x%

x = 500/20 = 25%.

18. Uma placa retangular de madeira tem dimensões 40 cm x 25 cm. Através de um fio que passa pelo baricentro, ela é presa ao teto de uma sala, permanecendo horizontalmente a 2,0 m do assoalho e a 1,0 m do teto. Bem junto ao fio, no teto, há uma lâmpada cujo filamento tem dimensões des­prezíveis. A área da sombra projetada pela placa no assoalho vale, em m²,

a) 0,90      b) 0,40      c) 0,30     d) 0,20     e) 0,10

I. H/h = D/d  →  3/1 = D/d →  D = 3d.

II. As dimensões lineares da sombra projetada no assoalho são o triplo

das dimensões lineares da placa. Logo:

A’ = (3.25).(3.40) = 75.120 = 9000 cm² = 0,9 m².

OU

(H/h)² = A’/A  →  (3/1)² = A’/40.25 →  9 = A’/40.25 →  A’ = 9.1000 = 9000 cm² = 0,9 m².

19. No teto de uma sala, cujo pé direito (medida do teto ao piso) vale 3,0 m, está fixa uma lâmpada linear de 20 cm (fonte extensa). Uma barra opaca de 1,0 m de comprimento está horizontalmente suspensa a 1,20 m do teto. Sabendo-se que os pontos médios da lâmpada e da barra definem a mesma vertical, e supondo-se que lâmpada e barra estejam paralelas, calcule o tamanho da sombra projetada é:

a) 2,0 m     b) 2,1 m     c) 2,2 m     d) 2,3 m     e) 2,4 m

I. h/0,2 = (1,2 + h)/1 → h – 0,2h = 0,24 → h = 0,3 m.

II. 0,3/0,2 = (0,3 + 3)/D → D = 3,3/1,5 = 2,2 m.

20. (UECE 2012.1.F2) Uma fonte de luz monocromática puntiforme ilumina um disco e projeta sua sombra em uma parede. Considere o diâmetro do disco muito maior que o comprimento de onda da luz. O disco está a uma distância de um metro da parede e sua sombra tem um perímetro perfeitamente circular, com área quatro vezes a área do disco. Assim, a distância entre a fonte de luz e a parede, em metros, é

a) 4/3     b) 4     c) 2     d) 3/4

I. Relacionando as áreas, sabendo que A₂ = 4.A₁.

A₂ = π.R₂² → 4.A₁ = π.R₂² → 4.π.R₁² = π.R₂² → 4.R₁² = R₂² → R₂ = 2.R₁.

II. Conforme a figura, faremos:

x/(x – 1) = R₂/R₁  → x/(x – 1) = 2R₁/R₁  → x/(x – 1) = 2  → 2x – 2 = x →  x = 2 m.

21. No teto de uma sala, cujo pé direito (medido do teto ao piso) vale 3,0 m está fixa uma lâmpada linear de 20 cm (fonte extensa). Uma barra opaca de 1,0 m de comprimento está horizontalmente suspensa  a 1,20 m do teto. Sabendo-se que os pontos médios da lâmpada e da barra definem uma mesma vertical, determine o tamanho da sombra projetada e o tamanho de cada uma das penumbras projetadas no solo, sabendo que a barra e lâmpada estão paralelos entre si.

I. Fazendo uma semelhança com os triângulos ABC e CEF.

0,2/1,2 = y/1,8 → 2/12 = y/1,8 → 1/6 = y/1,8 →  y = 1,8/6 = 0,3 m (este é o valor de cada penumbra)

II. Fazendo uma semelhança com os triângulos BCD e BEG.

1/1,2 = (y + x)/3 → 10/12 = (y + x)/3 → 12.(y + x)  = 30 (dividindo os dois termo por 6) →  2.(y + x) = 5 → 2y + 2x = 5 →  2.0,3 + 2x = 5 →  2x = 5 – 0,6 →  x = 4,4/2 = 2,2 m     (este é o valor da sombra)

22. Uma câmara escura de orifício fornece a imagem de um prédio, que se apresenta com altura de 5,0 cm. Aumentando-se 100 m a distância do prédio à câmara, a imagem se reduz para 4,0 cm de altura. Determine a distância do prédio à câmara na situação inicial que se encontrava.

I. H/h = D/d → H.d = h.D = 5.D.

II. H/h’ = D’/d → H.d = h’.D’ = 4.(D + 100) = 4D + 400.

III. Igualando as duas equações, temos:

5D = 4D + 400 → D = 400 cm.

23. No instante t = 0, um feixe horizontal de raios luminosos, provenientes da chama de uma vela A, atravessa um pequeno orifício de um anteparo e projeta uma pequena mancha luminosa B no anteparo visual, conforme a figura.

As distâncias da chama ao orifício e do orifício ao anteparo são, respectivamente, a e 2a. Se a vela queima a uma velocidade V = 2,0 cm/min, então a mancha luminosa se desloca verticalmente sobre o anteparo com velocidade (em cm/min):

a) 1,0      b) 2,0      c) 3,0      d) 4,0      e) 6,0

I. V = ΔS/Δt → Δt = ΔS/V, onde Δt₁ = Δt₂.

II. ΔS₁/V₁ = ΔS₂/V₂ →  a/2 = 2a/V₂  → 1/2 = 2/V₂  →  V₂ = 4 cm/min.

24. Um homem caminha, à noite, afastando-se de um poste luminoso. A altura do poste é 6,0 m e a do ho­mem, 2,0 m. Caminhando este a 4,0 km/h, com que velocidade escalar se move o ponto M (extremidade da sombra do homem)?

I. V = ΔS/Δt → Δt = ΔS/V, onde Δt₁ = Δt₂.

II. ΔS₁/V₁ = ΔS₂/V₂ →  6/V₁ = (6 – 2)/4  → 6/V₁ = 4/4  →  6/V₁ = 1 → V₁ = 6 km/h.

CENTRO DE MASSA

01. Uma bomba de massa m esta movendo-se horizontalmente ao longo do eixo x com velocidade V₀.

A bomba esta isolada de forcas externas e vai explodir em dois fragmentos: A, de massa m/4, e B, de massa 3m/4.

Em um instante T, posterior a explosão, o fragmento A tem coordenada y_A = 15,0cm. No mesmo instante T, o fragmento B tem coordenada y_B igual a:

a) –15,0 cm    b) –10,0 cm     c) –5,0 cm     d) 5,0 cm     e) 15,0cm

O centro de massa se mantém com velocidade V₀ na direção x e, portanto, Y_CM = 0

Y_CM = (m_A.Y_A + m_B.Y_B)/(m_A + m_B) = 0 onde m_A + m_B = m/4 + 3m4 = 4m/4 = m.

[(m/4).15 + (3m/4).Y_B]/m= 0

(1/4).15 + (3/4).Y_B = 0 (multiplicando tudo por 4 ou fazendo mmc)

3.Y_B = – 15

Y_B = – 5 cm.

02. (UERJ 2001) Uma fotografia tirada de cima mostra a posição de 4 leões dentro da jaula, como indica o esquema abaixo.

Sabendo que as massas são, respectivamente, m₁ = m₃ = 200 kg e m₂ = m₄ = 250 kg, determine as coordenadas, no plano xy, do centro de massa desses leões.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃ + m₄.X₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄) =

X_CM = [200.(-2) + 250.(-1) + 200.1 + 250.2]/(200 + 250 + 200 + 250) =

X_CM = ( -400 - 250 + 200 + 500)/900

X_CM = 50/900 = 5/90 = 1/18.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃ + m₄.Y₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄) =

Y_CM = [200.(-1) + 250.1 + 200.2 + 250.(-1)]/(200 + 250 + 200 + 250) =

Y_CM = ( -200 + 250 + 400 - 250)/900

Y_CM = 200/900 = 2/9.

III. Assim o centro de massa é [(1/18); (2/9)].

03. (UNIFOR-CE 2003.1) Uma tábua homogênea, de 1,00 m de comprimento, tem 10 divisões de 10 cm, marcadas por 9 traços numerados de 1 a 9. A tábua, de massa 1,0 kg, foi pendurada por um fio ligado ao traço número 4, como está indicado no esquema.

Para mantê-la na posição horizontal foi pendurado um massor exatamente sobre o traço número 2. A massa desse massor é, em kg, igual a:

a) 0,25     b) 0,40     c) 0,50     d) 0,60     e) 0,90

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

40 = (1.50 + m₂.20)/(1 + m₂)

40 + 40.m₂ = 50 + 20.m₂.

20.m₂ = 10

m₂ = 10/20 = 0,5 kg.

04. (UFPE 2003)

a) Duas partículas, de massas M₁ = M e M₂ = M/2, estão presas por uma haste de comprimento L = 48 cm e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M₁?

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = [M.0 + (M/2).L]/[M + (M/2)]

X_CM = (M.L/2)/(3M/2)

X_CM = L/3 = 48/3 = 16 cm.

b) Duas partículas, de massas M₁ = M e M₂ = M/2, estão presas por uma haste de comprimento L = 12 cm e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação ao ponto O?

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = [M.(-L/3) + (M/2).(2L/3)]/[M + (M/2)]

X_CM = [(-M.L/3) + (-M.L/3)]/(3M/2)

X_CM = 0/(3M/2) = 0.

05. (UECE 2012) Um bloco de massa m_A = 700 kg se desloca ao longo do eixo x com velocidade escalar v_A = 40 km/h, enquanto outro bloco, de massa m_B = 500 kg, se desloca ao longo do mesmo eixo, com velocidade escalar v_B = 80 km/h. Então, a velocidade escalar do centro da massa, em km/h, do sistema constituído pelas massas m_A e m_B é aproximadamente

a) 40     b) 57     c) 60     d) 72

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B)

V_CM = (700.40 + 500.80)/(700 + 500)

V_CM = (28000 + 40000)/1200

V_CM = 68000/1200 = 56,6 = 57 km/h.

06. No esquema, temos duas esferas, A e B, de massas m e 2m, respectivamente. A esfera A está em queda livre e a esfera B está em repouso em um plano horizontal.

Sendo g = 9,87 m/s², calcule o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver em queda livre.

a) 3,0 m/s²    b) 3,25 m/s²   c) 3,29 m/s²    b) 3,75 m/s²

a_CM = (m_A.a_A + m_B.a_B)/(m_A + m_B)

a_CM = (m.g + 2m.0)/(m + 2m)

a_CM = m.g/3m = g/3 = 9,87/3 = 3,29 m/s².

07. (UFPE 2010)  Uma chapa metálica de densidade constante é cortada de acordo com a forma mostrada na figura. Determine as coordenadas do seu centro de massa, em centímetros.

I. Veja a figura.

II. Determinando o centro de massa de cada área com sua respectiva área.

X_A = 15 cm e Y_A = 30 cm, A_A = 30.60 = 1800 cm².

X_B = 60 cm e Y_B = 60 cm, A_B = 120.60 = 7200 cm².

X_C = 105 cm e Y_C = 30 cm, A_C = 30.60 = 1800 cm².

III. Determinando a massa de cada área, sabendo que massa e área são diretamente proporcionais, assim, como A_A = A_C = A e A_B = 4.A_A = 4A, então as massas terão os seguintes valores m_A = m_C = m e m_B = 4.m_A = 4m.

IV. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m_A.X_A + m_B.X_B + m_D.X_D)/(m_A + m_B + m_D) =

X_CM = (m.15 + 4m.60 + m.105)/(m + 4m + m) =

X_CM = (15m + 240m + 105m)/6m =

X_CM = 360m/6m = 60 cm.

V. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m_A.Y_A + m_B.Y_B + m_D.Y_D)/(m_A + m_B + m_D) =

Y_CM = (m.30 + 4m.60 + m.30)/(m + 4m + m) =

Y_CM = (30m + 240m + 30m)/6m =

Y_CM = 300m/6m = 50 cm.

VI. Assim o centro de massa é (60; 50). 

08. (UEL-PR 2002) Uma das armas utilizadas pelas forças especiais dos Estados Unidos da América e da Inglaterra contra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigidos por satélite, viajam a 880 km/h, podendo alcançar alvos situados a 1600 km. Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-aviões USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em direção a uma base Talibã situada em Shidand, e descreve uma trajetória parabólica. Suponha também que esse míssil possua um sensor com o qual se pode explodi-lo no ar, de modo que ele se fragmente em pedacinhos pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja indevidamente a população civil. No caso de haver uma explosão como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de massa dos fragmentos após a explosão, considere as seguintes afirmativas, desprezando-se o efeito do ar:

I. O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica, porque a explosão representa somente o efeito das forças internas.

II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um aumento, devido a conversão da energia química armazenada em energia mecânica; mas a resultante das forças externas e o movimento do centro de massa não se alteram.

III. O centro de massa dos fragmentos não continua mais descrevendo uma trajetória parabólica, pois a explosão fará com que os fragmentos sigam trajetórias próprias.

Aponte a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa I e verdadeira.

b) Somente a afirmativa II e verdadeira.

c) Somente a afirmativa III e verdadeira.

d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

I. Verdadeiro: as forças internas, ligadas a explosão, não podem alterar a trajetória do centro de massa.

II. Verdadeiro: a resultante externa continua sendo o peso total do sistema e o centro de massa continua descrevendo a mesma trajetória parabólica.

III. Falsa: O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo uma trajetória parabólica.

09. Considere três esferas A, B e C de massas respectivamente iguais a M, 2M e 7M. As esferas A e B estão em queda livre vertical com aceleração de modulo 10,0 m/s² e a esfera C esta em repouso no solo.

A aceleração do centro de massa do sistema terá módulo igual a:

a) 2,0 m/s²    b) 3,0 m/s²    c) 4,0 m/s²   d) 5,0 m/s²    e) 6,0 m/s²

a_CM = (m_A.a_A + m_B.a_B + m_C.a_C)/(m_A + m_B + m_C)

a_CM = (M.g + 2M.g +7M.0)/(M + 2M + 7M)

a_CM = 3Mg/10M = 3g/10 = 3.10/10 = 3,0 m/s².

10. (UECE 2009.1.F2) O corpo A, de massa 2,0 kg, move-se com velocidade constante de módulo 4,0 m/s, com direção ao longo do eixo-x, no sentido positivo desse eixo. O corpo B, de massa 6,0 kg, move-se com velocidade constante de módulo 3,0 m/s, com direção ao longo do eixo-y, no sentido negativo desse eixo. O módulo da velocidade do centro de massa do sistema composto pelos dois corpos A e B, em m/s, é aproximadamente

a) 2,5     b) 5,5     c) 10,5     d) 15,5

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B)

V_CM = [2.4.i + 6.3.(-j)]/(2 + 6)

V_CM = (8i – 18j)/8 (dividindo tudo por 8)

V_CM = 1.i – 2,25.j (fazendo o teorema de Pitágoras)

(V_CM)² = 1² + (2,25)²

(V_CM)² = 1 + 5,0625 = 6,0625

V_CM = 2,46 m/s = 2,5 m/s. (Obs.: i e j são versores)

11. (IJSO-2010 – BRASIL) Na figura representamos uma placa de espessura constante e constituída de um material homogêneo, dividida em três quadrados de mesma área. Dos pontos indicados qual deles pode coincidir com o centro de gravidade da placa?

a) A     b) B     c) C     d) D      e) E

I. Para os quadrados (1) e (2), o CM estará localizado no seu centro geométrico A.

II. Para o quadrado (3), o CM estará localizado em seu centro geométrico D.

Podemos imaginar dois pontos materiais: um localizado em A com massa 2M e outro localizado em D com massa M. O CM entre A e D é dado pela média ponderada:

X_CM = (m_A.X_A + m_B.X_B)/(m_A + m_B)

X_CM = (2M.0 + M.d)/(2M + M) = M.d/3M = d/3, podendo ser o ponto B.

12. (PUC-PR 2010) Um planeta binário é um sistema formado por dois planetas que se atraem mutuamente pela força gravitacional e que orbitam em torno do centro de massa do sistema. Para que seja considerado planeta binário, o centro de massa (c.m.) do sistema não pode se localizar dentro de nenhum dos planetas. Suponha um planeta binário composto por um planeta maior (M) de massa quatro vezes a massa do planeta menor (m), ambos realizando órbitas circulares em torno do centro de massa.

Analise as alternativas:

I. O raio da órbita do planeta menor é quatro vezes o raio da órbita do planeta maior.

II. A velocidade escalar do planeta menor é quatro vezes maior que a do planeta maior.

III. O período da órbita do planeta menor é quatro vezes maior que o do planeta maior.

Assinale a alternativa correta:

a) Somente as afirmativas II e III estão corretas.

b) Somente a afirmativa I está correta.

c) Somente as afirmativas I e II estão corretas.

d) Somente a afirmativa II está correta.

e) Todas as afirmativas estão corretas.

I. Verdadeiro.

X_CM = (M.X₁ + m.X₂)/(M + m)

R₁ = [4m.0 + m.(R₁ + R₂)]/(4m + m)

R₁ = m.(R₁ + R₂)]/(5m)

R₁ = (R₁ + R₂)]/5

5R₁ = R₁ + R₂

R₂ = 4R₁.

II. Verdadeiro.

V₂ = ω₂.R₂ = ω.4R₁ = 4.V₁. (Obs.: ω₁ = ω₂ = ω)

III. Falso.

ω = 2π/T, logo T₂ = T₁. (Obs.: ω₁ = ω₂ = ω)

13. Considere duas partículas de massas iguais que se movem ao longo de uma reta com velocidades constantes, de mesmo sentido, e módulos 4,0 cm/s e 5,0 cm/s. Qual a posição do centro de massa do sistema formado pelas duas partículas?

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B)

V_CM = (m.4 + m.5)/(m + m)

V_CM = 9m/2m = 9/2 = 4,5 cm/s.

14. Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições

indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m_A.X_A + m_B.X_B + m_D.X_D)/(m_A + m_B + m_D) =

X_CM = (m.0 + m.2 + m.4)/(m + m + m) =

X_CM = 6m/3m = 6/3 = 2 cm.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m_A.Y_A + m_B.Y_B + m_D.Y_D)/(m_A + m_B + m_D) =

Y_CM = (m.0 + m.3 + m.0)/(m + m + m) =

Y_CM = 3m)/3m = 1 cm.

III. Assim o centro de massa é (2; 1).

15. Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco pontos materiais.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃ + m₄.X₄ + m₅.X₅)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅) =

X_CM = (m.1 + m.2 + m.3 + m.4 + m.5)/(m + m + m + m + m) =

X_CM = 15m/5m = 15/5 = 3.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃ + m₄.Y₄ + m₅.Y₅)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅) =

Y_CM = (m.4 + m.2 + m.4 + m.1 + m.6)/(m + m + m + m + m) =

Y_CM =17m/5m = 17/5 = 3,4.

III. Assim o centro de massa é (3; 3,4).

16. Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura uniforme e de raio R estão dispostas conforme a figura. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelas três placas.

I. Podemos concentrar a massa de cada placa circular no seu centro de gravidade. Estes ficarão dispostos nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado 2R. Como as massas são iguais o centro de massa será o baricentro do triângulo.

Y_CM =h/3, como h = L.3^1/2/2 = 2R.3^1/2/2 = R. , então temos, X_CM = R.3^1/2/3.

X_CM = 0.

II. Assim o centro de massa é (0; R.3^1/2/3). Onde 3^1/2 é a raiz quadrada de 3.

17. A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é 60 R, em que R é o raio da Terra. Determine a distância do centro da Terra ao centro de massa do sistema Terra-Lua. 

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = (80m.0 + m.60R)/(80m + m)

X_CM = 60mR/81m = 60R/81 (simplificando por 3)

X_CM = 20R/27.

18. (UFC-CE 98) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xy. Em dado instante, uma delas é atirada na direção x, com velocidade constante de módulo V_X = 9,0 m/s e outra é atirada na direção y, com velocidade constante de módulo V_y = 12,0 m/s, ficando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B + m_C.V_C)/(m_A + m_B + m_C)

V_CM = (m.9i + m.12j + m.0)/(m + m + m)

V_CM = (m.9i + m.12j)/3m

V_CM = 3i + 4j

(V_CM)² = 3² + 4²

(V_CM)² = 9 + 16 = 25 (fazendo o teorema de Pitágoras)

V_CM = 5 m/s. (Obs.: i e j são versores)

19. (FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas M_A = 0,10 kg e M_B = 0,20 kg constituem um sistema físico e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa F constante e de intensidade 30 N.

Calcule:

a) Os módulos das acelerações das esferas A e B.

Não atuam forças sobre a esfera A e portanto sua aceleração é nula (a_A = 0). Na esfera B atua apenas a força F, então:

a_B = F/m_B = 30/0,2 = 150 m/s².

b) O módulo da aceleração do centro de massa do sistema (AB).

a_CM = F/(m_A + m_B) = 30/(0,1 + 0,2) = 30/0,3 = 100 m/s².

20. (PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B está à distância d = 6,0 cm da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, como mostra a figura.

A partícula A tem carga q e massa m.

A partícula B tem carga -q e massa 2m.

Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas.

A que distância da origem elas colidirão?

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = (m.0 + 2m.d)/(m + 2m) = 2md/3m = 2d/3 = 2.6/3 = 12/3 = 4 cm.

21. (UFPE 2002) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de espessuras desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em centímetros, do centro de massa do sistema, em relação ao solo.

Y_CM = (m_A.Y_A + m_B.Y_B + m_C.Y_C)/(m_A + m_B + m_C)

Y_CM = (m.45 + m.90 + m.45)/(m + m + m)

Y_CM = 180m/3m = 60 cm.

22. (UNB 97) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada quadrado tenha lado igual a 10 cm. Determine, em centímetros, a soma das coordenadas do ponto correspondente ao centro de massa da placa, caso exista.

I. Calculando na coordenada do eixo X. (Observe que temos 32 quadrados, e que o centro de massa na horizontal do 1⁰ quadrado é 5 cm, o segundo é 15 cm, o terceiro é 25 cm, o quarto é 35 cm, o quinto é 45 cm, o sexto é 55 cm, o sétimo é 65 cm e o oitavo é 75 cm)

X_CM = Σm.X/Σm

X_CM = (8m.5 + 8m.15 + 4m.25 + 4m.35 + 2m.45 + 2m.55 + 2m.65 + 2m.75)/32m

X_CM = (40m + 120m + 100m + 140m + 90m + 110m + 130m + 150m)/32m

X_CM = 880/32 = 27,5 cm.

II. Calculando na coordenada do eixo Y. (Fazendo da mesma maneira que foi feita na horizontal, faremos na vertical)

Y_CM = Σm.Y/Σm

Y_CM = (2m.5 + 2m.15 + 4m.25 + 4m.35 + 2m.45 + 2m.55 + 8m.65 + 8m.75)/32m

Y_CM = (10m + 30m + 100m + 140m + 90m + 110m + 520m + 600m)/32m

Y_CM = 1600/32 = 50 cm.

III. Calculando as somas de suas coordenadas de centro de massa.

X_CM + Y_CM = 27,5 + 50 = 77,5 cm.

23. (UNB 97) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada quadradinho tenha 10 cm de lado, determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de duas placas homogêneas, uma circular e outra triangular, cujas massas são iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obtidas e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂) =

X_CM = (m.0 + m.40)/(m + m) =

X_CM = 40m/2m = 20.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂)/(m₁ + m₂) =

X_CM = (m.0 + m.40)/(m + m) =

X_CM = 40m/2m = 20.

III. Calculando as somas de suas coordenadas de centro de massa.

X_CM + Y_CM = 20 + 20 = 40 cm.

Obs.: calculando o baricentro do triângulo

X₂ = Y_CM = (60 + 30 + 30)/3 = 120/3 = 40 cm.

24. (UFC-CE 90.1.F2) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são colocados no plano xy, conforme mostra a figura. Se R = 10.2^1/2 cm, calcule, em centímetros, a distância entre o centro de massa do conjunto e a origem, do sistema cartesiano xy. 

Atenção 2^1/2 é a raiz quadrada de 2.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂) =

X_CM = [m.(-R) + 4m.2R]/(m + 4m) =

X_CM = [- m.R + 8m.R]/5m =

X_CM = 7mR/5m = 7R/5 = 7.10.2^1/2/5 = 14.2^1/2 cm.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂)/(m₁ + m₂) =

Y_CM = [m.(-R) + 4m.2R]/(m + 4m) =

Y_CM = [- m.R + 8m.R]/5m =

Y_CM = 7mR/5m = 7R/5 = 7.10.2^1/2/5 = 14.2^1/2 cm.

III. Assim o centro de massa é (14.2^1/2; 14.2^1/2).

IV. Calculando a distância entre o centro de massa e a origem

d² = (X_CM – 0)² + (Y_CM – 0)²

d² = (14.2^1/2 – 0)² + (14.2^1/2 – 0)²

d² = (14.2^1/2)² + (14.2^1/2)²

d² = 2.(14.2^1/2)²

d = 2.14 = 28 cm.

25. (UFC-CE 90.2.F2) Três discos de raios R₁ = 21 cm, R₂ = 2R₁ e R₃ = 4R₁ são feitos de um mesmo material, todos eles com densidade uniforme e com mesma espessura. Os discos são empilhados sobre o plano xy conforme se mostra na figura. Note que o centro de cada disco tem projeção sobre o eixo x. Determine a coordenada x do centro de massa do conjunto.

X_CM = (A₁.X₁ + A₂.X₂ + A₃.X₃)/(A₁ + A₂ + A₃) =

X_CM = (π.R₁².R₁ + π.4R₁².2R₁ + π.16R₁².4R₁)/(π.R₁² + 4π.R₁² +16π.R₁²) =

X_CM = 73π.R₁³/21π.R₁² = 73.R₁/21 = 73.21/21 = 73 cm (Obs.: R₁ = 21 cm)

26. (UFC-CE 91.2.F2) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e densidade uniformes. A parte horizontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se L = 98 cm e D = 16 cm, determine o valor do comprimento C, em centímetros, sabendo que o centro de massa da peça está sobre a linha MN. Veja a figura.

Cortando-se a chapa ao longo do segmento MN e fazendo a mesma passar o eixo-x e o eixo-y na aresta da esquerda, Y_CM = 0.

Y_CM = (A₁.Y₁ + A₂.Y₂ + A₃.Y₃)/(A₁ + A₂ + A₃)

0 = [CD.(C/2) + CD.(C/2) + DL.(-D/2)]/(CD + CD + DL)

0 = [(C²D/2) + (C²D/2) – (D²L/2)]/(2CD + DL)

0 = (C²D/2) + (C²D/2) – (D²L/2) (multiplicando todos os termos por 2/D)

0 = C² + C² – DL

2C²  = DL

C²  = DL/2 = 98.16/2 = 1568/2 = 784

C = 28 cm.

27. As partículas A e B, de massas m e 3m, deslocam-se na direção do eixo Ox, com velocidades de módulos v_A = 10 m/s e v_B = 2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do centro de massa dessas partículas.

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B)

V_CM = [m.10 + 3m.(-2)]/(m + 3m)

V_CM = [10m - 6m/4m

V_CM =4m/4m = 1 m/s.

28. (UFC-CE 92.2.F2) Um homem de massa m está de pé sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, separado de uma distância d de um bloco pesado de massa M. O homem tenta puxar para si o bloco por meio de uma corda inextensível de massa desprezível. Ele dá um rápido puxão na corda e ambos deslizam um para o outro até se encontrarem em certo ponto. Determine, em função da distância d e das massas m e M, a posição de encontro entre o homem e o bloco a partir da posição inicial do homem.

O sistema físico formado pelo homem e o bloco tem força resultante nula, portanto o seu centro de massa (C.M.) estará em equilíbrio (repouso). Calculemos então a abscissa do centro de massa do sistema (X_CM):

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = (m.0 + M.d)/(m + M) = Md/(m + M)

Este valor de X_CM representa a abscissa do ponto onde o homem e o bloco deverão se encontrar. 

29. (ITA-SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas posições, m(x; y), em que m é a massa em quilogramas, x e y as posições em metros, tais que 2 (3; 6), 4 (4; 4), 2 (1; 2).

Indique qual dos pontos do gráfico representa o centro de massa do sistema.

a) A     b) B     c) C     d) D      e) E

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃)/(m₁ + m₂ + m₃) =

X_CM = (m.3 + m.4 + m.1)/(m + m + m) =

X_CM =8m/3m = 8/3 = 2,6 = 3.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃)/(m₁ + m₂ + m₃) =

Y_CM = [m.6 + m.4 + m.2)/(m + m + m) =

Y_CM = 12m/3m = 4.

III. Assim o centro de massa é (3; 4) que corresponde ao ponto B.

30. (VUNESP-SP) Duas esferas homogêneas, de raios R₁ e R₂ e massas m₁ e m₂, foram fixadas uma à outra de modo a formar um sistema rígido, indicado na figura a seguir.

Sendo R₁ = 2R₂ e m₁ = m₂/2, o centro do sistema assim constituído encontra-se:

a) no centro da esfera maior.

b) no centro da esfera menor.

c) no ponto de fixação das esferas.

d) a meia distância entre o centro O₁ e o ponto de fixação.

e) a meia distância entre o centro O₂ e o ponto de fixação.

Fazendo a origem do sistema no centro de massa do círculo1.

I. Calculando na coordenada do eixo X. Fazendo a origem do sistema no centro de massa do círculo 1, temos:

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂) =

X_CM = [m₁.0 + m₂.(R₁ + R₂)]/(m₁ + m₂) =

X_CM = [2m.(2R₂ + R₂)]/(m + 2m) =

X_CM = 6m.R₂/3m = 2R₂.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂)/(m₁ + m₂) =

Y_CM = (m.0 + 2m.0)/(m + 2m) =

Y_CM = 0/3m = 0.

III. Assim o centro de massa é (2R₂; 0) que corresponde ao raio do círculo 1, assim ficando na junção dos dois círculos.

31. (UFC-CE 99) Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R = 20 cm, e de massas m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, m₃ = 3 kg, e m₄ = 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy, conforme mostra a figura a seguir.

A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas (x, y) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em centímetros, pelo par ordenado:

a) (40, 40)    b) (20, 32)    c) (20, 60)    d) (40, 32)    e) (40, 20)

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃ + m₄.X₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄) =

X_CM = (1.20 + 2.60 + 3.60 + 4.20 + m.5)/(1 + 2 + 3 + 4) =

X_CM = (20 + 120 + 180 + 80)/10

X_CM = 400/10 = 40.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃ + m₄.Y₄)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄) =

Y_CM = (1.60 + 2.60 + 3.20 + 4.20)/(1 + 2 + 3 + 4) =

Y_CM = (60 + 120 + 60 + 80)/10

Y_CM =320/10 = 32.

III. Assim o centro de massa é (40; 32).

32. (ITA-SP) As massas m₁ = 3,0 kg e m₂ = 1,0 kg foram fixadas nas extremidades de uma haste homogênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento.

Este sistema foi colocado verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, conforme mostra a figura, e abandonado. A massa m₁ colidirá com a superfície a uma distância x do ponto P dada por:

a) x = 0 (no ponto P)    b) x = 10 cm    c) x = 20 cm    d) x = 30 cm    e) x = 40 cm

Como o sistema está isento de forças externas horizontais, seu centro de massa não sofre deslocamentos nessa direção, terminando diretamente sobre o ponto P, conforme representa a figura.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

0 = [3.x + 1.(– 40 + x)]/(3 + 1)

0 = (3x – 40 + x)/4

0 = (4x – 40)./4

4x – 40 = 0

x = 40/4 = 10 cm.

34. (ITA-SP) Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir do repouso a uma altura de 25 m acima do chão. No mesmo instante, uma segunda bola, com massa de 0,25 kg, é lançada verticalmente para cima, a partir do chão, com uma velocidade inicial de módulo 15 m/s. As duas bolas movem-se ao longo de linhas muito próximas, mas que não se tocam. Adote g = 10 m/s² e despreze o efeito de resistência do ar.

Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas bolas tem módulo igual a:

a) 11 m/s, e é dirigida para baixo.

b) 11 m/s, e é dirigida para cima.

c) 15 m/s, e é dirigida para baixo.

d) 15 m/s, e é dirigida para cima.

e) 20 m/s, e é dirigida para baixo.

I. Calculando a velocidade inicial do centro de massa do sistema.

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B) =

V_CM = [0,5.0 + 0,25.(-15)]/(0,5 + 0,25) =

V_CM = - 3,75/0,75 = 5 m/s.

II. Para t = 2 s, temos:

V = V₀ + g.t = - 5 + 10.2 = - 5 + 20 = 15 m/s e para baixo, devido ao peso dos corpos, da qual o centro de massa do sistema está em queda livre.

35. (FCMSC-SP) Na figura a seguir, C é o centro de massa de um sistema constituído por três esferas (e₁, e₂ e e₃) de mesma massa.

A terceira esfera não aparece na figura. X e Y são eixos de um sistema de referência. Quais são as coordenadas X_C e Y_C do centro da esfera e₃? (Os centros de massa das três esferas estão contidos no plano XY.)

a) X_C = -5,0 e Y_C = -2,5

b) X_C = 5,0 e Y_C = 2,5

c) X_C = -2,5 e Y_C = 2,5

d) X_C = 2,5 e Y_C = -2,5

e) X_C = 2,5 e Y_C = 2,5

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_C = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃)/(m + m + m) =

2,5 = (m.4 + m.6 + m. X_C)/3m =

2,5 = (10m + m. X_C)/3m

2,5 = (10 + X_C)/3

10 + X_C = 7,5

X_C = 7,5 – 10 = – 2,5 cm .

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃)/(m₁ + m₂ + m₃) =

2,5 = (m.1,5 + m.3,5 + m.Y₃)/(m + m + m) =

2,5 = (5m + m.Y₃)/3m

2,5 = (5 + Y₃)/3

5 + X_C = 7,5

X_C = 7,5 – 5 =  2,5 cm .

III. Assim o centro de massa é (– 2,5; 2,5).

36. (UERJ) A forma de uma raquete de tênis pode ser esquematizada por um aro circular de raio R e massa m₁, preso a um cabo de comprimento L e massa m₂.

Quando R = L/4 e m₁ = m₂, a distância do centro de massa da raquete ao centro do aro circular vale:

a) R/2     b) R     c) 3R/2     d) 2R

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = [M.0 + M.(R + 4R/2)]/(M + M)

X_CM = (M.3R)/2M = 3R/2.

37. (CESGRANRIO) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos indicados (F, G, H, I, J ) o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é:

a) F      b) G      c) H      d) I      e) J

Veja a figura:

A origem do referencial (0; 0) adotado será o centro de massa do bloco 1.

I. Calculando na coordenada do eixo X.

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂ + m₃.X₃ + m₄.X₄ + m₅.X₅ + m₆.X₆)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + m₆)

X_CM = (m.0 + m.L + m.2L + m.L + m.L + m.L)/(m + m + m + m + m + m)

X_CM = 6m.L/6m  = L.

II. Calculando na coordenada do eixo Y.

Y_CM = (m₁.Y₁ + m₂.Y₂ + m₃.Y₃ + m₄.Y₄ + m₅.Y₅ + m₆.Y₆)/(m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + m₆)

Y_CM = (m.0 + m.0 + m.0 + m.d + m.2d + m.3d)/(m + m + m + m + m + m)

Y_CM = 6m.d/6m  = d.

III. Assim o centro de massa é (L; d) que corresponde ao ponto I.

38. (F. M. Taubaté-SP) Um objeto de massa M, inicialmente em repouso, explode em duas partes A e B, com massas de 1/3 e 2/3, respectivamente, da massa do objeto inicial. Sabendo que a distância entre elas em um instante t é de 30 m, então a distância do corpo B ao ponto de explosão será:

a) 10 m      b) 20 m      c) 15 m      d) 18 m     e) n.d.a.

X_CM = [(m/3).30 + (2m/3).0]/(m/3 + 2m/3)

X_CM = 10m/m = 10 m.

39. (UFPA) Um corpo esférico de massa 6m rola sobre um plano horizontal sem atrito em direção a outro corpo esférico em repouso e de massa m, com velocidade v constante. Quando os dois corpos estão separados por uma distância d, o centro de massa do sistema estará situado a uma distância da esfera maior dada por:

a) d/11     b) d/9     c) 6d/7     d) d/7     e) d/5

O sistema físico formado pelo homem e o bloco tem força resultante nula, portanto o seu centro de massa (C.M.) estará em equilíbrio (repouso). Calculemos então a abscissa do centro de massa do sistema (X_CM):

X_CM = (m₁.X₁ + m₂.X₂)/(m₁ + m₂)

X_CM = (m.d + 6m.0)/(m + 6m) = md/7m = d/7.

40. (UFPA) Na questão anterior a velocidade do centro de massa é:

a) 6v/7     b) v     c) v/6     d) v/7     e) 7v/6

V_CM = (m₁.V₁ + m₂.V₂)/(m₁ + m₂)

V_CM = (m.0 + 6m.v)/(m + 6m) = 6mv/7m = 6v/7.

41. (UFC-CE) Determine em cm, a ordenada y do centro de massa da chapa triangular eqüilátera e homogênea de lado L = 56.3^1/2 cm.

O centro de massa da chapa triangular eqüilátera e homogênea é o baricentro, assim:

Y_CM = h/3, como h = L.3^1/2/2 = 56.3^1/2.3^1/2/2 = 56.3/2 = 84 cm, então temos, Y_CM = 84/3 = 28 cm.

Onde 3^1/2 é a raiz quadrada de 3. 

42. (UFC-CE) Um sistema constituído de duas estrelas, uma de massa m e outra de massa 5m e cujos centros estão separados por uma distância d, gira em torno de seu centro de massa. Se a velocidade orbital da estrela de menor massa é de 150 kms, calcule, na mesma unidade, a velocidade da outra estrela

V_CM = (m_A.V_A + m_B.V_B)/(m_A + m_B)

0 = [m.(-150) + 5m.V_B]/(m + 5m)

0 = [-150m + 5m.V_B]/6m

0 = (-150 + 5.V_B)/6

5.V_B = 150

V_B = 150/5 = 30 km/s.

43. (UFC-CE 2007) Cada um dos quadrados mostrados na figura abaixo tem lado b e massa uniformemente distribuída. Determine as coordenadas (x, y) do centro de massa do sistema formado pelos quadrados.

Veja a figura:

I. Calculando na coordenada do eixo X. (Observe que temos 10 quadrados, e que o centro de massa na horizontal do 1⁰ quadrado é 0,5 cm, o segundo é 1,5 cm, o terceiro é 2,5 cm, e o quarto é 3,5 cm)

X_CM = Σm.X/Σm

X_CM = (4m.0,5b + 3m.1,5b + 2m.2,5b + m.3,5b)/10m =

X_CM = 15mb/10mb = 1,5b.

II. Calculando na coordenada do eixo Y. (Fazendo da mesma maneira que foi feita na horizontal, faremos na vertical)

Y_CM = Σm.Y/Σm

Y_CM = (4m.0,5b + 3m.1,5b + 2m.2,5b + m.3,5b)/10m =

Y_CM = 15mb/10mb = 1,5b.

III. Assim o centro de massa é (1,5b; 1,5b).

44. (UECE 97.2) O centro de massa de uma chapa plana homogênea e triangular é o ponto de encontro das ________ do triângulo. Assinale a opção que completa corretamente a frase acima.

a) alturas       b) mediatrizes       c) medianas       d) bissetrizes

O centro de massa da chapa plana triangular e homogênea é o baricentro.

45. (CEFET-CE 2008.2) Em um sistema de estrelas duplas, A e B, elas se atraem por gravidade e giram em movimentos circulares uniformes, de raios distintos, em torno do centro de massa CM do sistema. As massas das estrelas A e B são, respectivamente, 2M e M, e a distância entre elas é D.

Calcule, em função de D, a distância X do centro de massa do sistema CM à estrela A.

X_CM = (2M.0 + M.D)/(2M + M) = MD/3M = D/3.

46. (Fundação Carlos Chagas) Na figura abaixo estão representadas as velocidades vetoriais de duas pequenas esferas idênticas que constituem um sistema isolado. Qual a intensidade da velocidade do centro de massa do sistema?

I. Veja a figura.

II. Determinar os valores das velocidades para os eixos xy.

V_AX = - 8 cm/s; V_AY = - 5 cm/s; V_BX = 4 cm/s e V_BY = 2 cm/s;

III. Calculando a velocidade do centro de massa para o eixo x.

V_XCM = (m_A.V_AX + m_B.V_BX)/(m_A + m_B)

V_XCM = [m.(-8) + m.4]/(m + m)

V_XCM = - 4m/2m = - 2 cm/s.

IV. Calculando a velocidade do centro de massa para o eixo y.

V_YCM = (m_A.V_AY + m_B.V_BY)/(m_A + m_B)

V_YCM = [m.(-5) + m.2]/(m + m)

V_YCM = -3m/2m = -1,5 cm/s.

V. Calculando a velocidade do centro de massa do sistema, usando o teorema de Pitágoras.

V_CM² = V_XCM² + V_YCM² = 2² + 1,5² = 4 + 2,25 = 6,25

V_CM = 2,5 cm/s.

47. Qual é a posição do centro de massa de C₂H₄? Suponha que a molécula seja plana.

A molécula de C₂H₄ é uma molécula simétrica (estamos supondo que ela seja plana). Portanto, o centro de massa desta molécula fica exatamente entre os dois átomos de carbono.

48. (UFC-CE 96.2.F2) Numa placa retangular de 100cm x 200cm, são cortados setores circulares, todos de mesmo raio, resultando na peça mostrada na figura. A placa tem espessura uniforme e é construída de um material homogêneo. Determine, em centímetros, as coordenadas x e y, do centro de massa da peça.

Se cortamos a peça ao longo do eixo que passa pelo ponto de abscissa x = 100 cm, obtemos duas partes simetricamente iguais, o que nos garante que X_CM = 100 cm. Temos também que, pela simetria de cada peça, as mesmas possuem Y_CM1 = Y_CM2 = 50 cm.

Podemos perceber que as massas das peças são iguais. Assim, temos: Y_CM = 50 cm

Concluímos que o centro de massa é (100 cm; 50 cm).

49. A figura a seguir mostra um carrinho, parado, contendo dois tanques, A e B, interligados por um condutor provido de uma torneira C. Inicialmente, o tanque B está cheio de água e o tanque A vazio. Abre-se então a torneira C e, em conseqüência, toda a água do tanque B escoará para o tanque A.

Desprezando-se qualquer tipo de atrito, podemos afirmar que, após o escoamento:

a) o carrinho estará se deslocando para a direita com velocidade constante.

b) o carrinho estará se deslocando para a esquerda com velocidade constante.

c) o carrinho estará parado, mas em uma nova posição à direita da posição original.

d) o carrinho estará parado, mas em uma nova posição à esquerda da posição original.

e) ) o carrinho estará parado, na posição original.

Durante o processo de escoamento, a massa de água passa para o lado esquerdo do carrinho e, para que o centro de massa esteja sempre na mesma posição (pois se trata de um sistema isolado de forças externas), o carrinho deve se deslocar para a direita. Assim que o processo de escoamento termina, como não há mais transferência de massa entre os elementos do sistema, este entrará em repouso.

50. Na situação da figura abaixo, não há atritos nem resistência do ar; a corda que os garotos A e B seguram é leve e o plano em que apoiam seus carrinhos é horizontal. As massas de A e B adicionadas às de seus respectivos carrinhos valem, nesta ordem, 150 kg e 100 kg.

Estando inicialmente em repouso, os garotos começam a puxar a corda, objetivando provocar uma colisão entre os carrinhos. Durante o movimento mútuo de A e B, qual a velocidade do centro de massa do sistema?

O sistema é isolado de forças externas, por isso a velocidade do seu centro de massa deve permanecer constante. Como os carrinhos estavam inicialmente parados, o centro de massa do sistema permanecerá em repouso durante a mútua aproximação entre A e B. Portanto a Velocidade é nula.

ATÉ A PRÓXIMA GALERA!