mister M da fisica: TURMA OLÍMPICA - VÁRIOS CASOS DE VELOCIDADE MÉDIA

VELOCIDADE MÉDIA

I ) (Com um único espaço e tempo definido)

V = ∆S/∆t

II ) (Com medidas inicial e final do espaço e do tempo)

V = (S – S₀) / (t – t₀)

III ) (Com espaços e tempos definidos em trajetos)

V = (S₁ + S₂) / (t₁ + t₂)

IV ) (Com trajetos contendo apenas valores para velocidade e espaço)

V = (S₁ + S₂) / (S₁/V₁ + S₂/V₂)

V ) (Com trajetos contendo apenas valores para velocidade e tempo)

V = (t₁.V₁ + t₂.V₂) / (t₁ + t₂)

VI ) (Com trajetos apresentando somente valores para velocidade sem ter valores para o espaço e o tempo , mas com a mesma variação de espaço que podem ser interpretados pelas palavras : ponto médio ; metade do percurso)

V = 2.V₁.V₂ / (V₁ + V₂)

VII ) (Com travessia de pontes)

V = (L + X) / ∆t onde L é o comprimento do móvel e X é o comprimento da ponte.

VIII ) (Com M.R.U.V.)

V_M = (V + V₀) / 2 ou ∆S/∆t = (V + V₀) / 2

IX ) (Fazendo derivação)

V = dS/dt

TRANSFORMAÇÕES IMPORTANTES

01. Um avião vai de São Paulo a Recife em 1h 40min. A distância entre essas cidades é aproximadamente de 3000 Km.

V = ΔS/Δt = 3000/(5/3) = 3000.3/5 = 1800 km/h = 500 m/s.

02. Um automóvel percorre uma estrada entre duas cidades A e B, distantes entre si 320 km. Sabendo-se que o percurso foi realizado num intervalo de tempo de 5 horas, determine sua velocidade média.

V = ΔS/Δt = 320/5 = 64 km/h.

03. Um automóvel, num percurso de 160 km, deve desenvolver uma velocidade média de 50 km/h. Qual deve ser o intervalo de tempo, em minutos, gasto pelo corpo no percurso ?

Δt = ΔS/V = 160/50 = 3,2 h = 192 min.

04. As anotações feitas por um motorista ao longo de uma viagem são mostradas no esquema:

Analisando as informações contidas neste esquema, calcule a velocidade média entre as cidades A e D, em km/h.

V = (S – S₀)/(t – t₀) = (540 - 200)/(13 - 9) = 340/4 = 85 km/h.

05. Às 14h30min um automóvel passa pelo km 40 de uma rodovia. Às 15h15 min ele se encontra no km 100 da mesma estrada. Determine a velocidade média desenvolvida pelo automóvel em todo o percurso:

V = (S – S₀)/(t – t₀) = (100 - 40)/(15h15min – 14h30min) = 60km/45min = 60/(45/60h) = 60/(3/4h) = 60.4/3 = 240/3 = 80 km/h.

06. A tabela registra dados da posição x em função do tempo t, referentes ao movimento retilíneo uniforme de um móvel. Qual é a velocidade desse móvel entre os instantes 2 s e 9 s?

V = (S – S₀)/(t – t₀) = (27 - 6)/(9 - 2) = 21/7 = 3 m/s.

07. Na disputa de uma corrida, dois ciclistas, X e Y, partem juntos mantendo constante o sentido do movimento. O ciclista X percorre 12 km nos primeiros 10 minutos, 20 km nos 15 minutos seguintes e 4 km nos 5 minutos finais. O ciclista Y mantém durante todo o percurso uma velocidade uniforme. Ao final da corrida, eles chegam juntos, isto é, empatam. A velocidade constante do ciclista Y, em km/h, é:

V = (S₁ + S₂ + S₃) /(t₁ + t₂ + t₃) = (12 + 20 + 4)/(10 + 15 + 5) = 36km/30min = 36/(30/60)h = 36/0,5 = 72 km/h.

08. Um ônibus faz o trajeto entre duas cidades em duas etapas. Na primeira, percorre uma distância de 150 km em 90 minutos. Na segunda, percorre 220 km em 150 minutos. Calcule a velocidade média do ônibus durante a viagem.

ΔS₁ = 150 km; Δt₁ = 90 min = 1,5 h e ΔS₂ = 220 km; Δt₂ = 150 min = 2,5 h. Então: V = (S₁ + S₂)/(t₁ + t₂) = (150 + 220)/(1,5 + 2,5) = 370/4 = 92,5 km/h.

09. Um ônibus, partindo da cidade de Juiz de Fora, percorre uma distância de 550 km numa viagem até a cidade de São Paulo. Durante essa viagem, o ônibus faz uma parada de 45 minutos na cidade de Rezende, que dista 217 km da cidade de Juiz de Fora. No primeiro trecho, antes da parada, a viagem durou 3 horas e 30 minutos.

No segundo trecho, depois da parada, a viagem durou 3 horas. O valor aproximado da velocidade escalar média do ônibus na viagem completa é:

V = (S₁ + S₂) /(t₁ + t₂ + t₃) = (217 + 333)/(3,5 + 0,75 + 3) = 550/7,25 = 76 km/h.

10. Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o quarto, a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso?

V = (S₁ + S₂ + S₃ + S₄)/(S₁/V₁ + S₂/V₂ + S₃/V₃ + S₄/V₄) = (5 + 5 + 5 + 5)/(5/100 + 5/120 + 5/120 + 5/150) = 20/[(30 + 25 + 25 + 20)/600] = 20/(100/600) = 20.600/100 = 120 km/h.

11. Uma substância injetada na veia, na região dorsal da mão de um paciente, percorre 70 cm até o coração a uma velocidade de 20 cm/s. Daí, percorre 30 cm, com uma velocidade de 30 cm/s, até alcançar o celebro. A velocidade escalar média da substância, desde o instante em que foi injetada até alcançar o celebro, é, em cm/s:

V = (S₁ + S₂)/(S₁/V₁ + S₂/V₂) = (70 + 30)/(70/20 + 30/30) = 100/(3,5 + 1) = 100/4,5 = 22,2 cm/s.

12. Um corredor fundista está participando de uma prova de 5 km. Nos primeiros 3 km ele mantém velocidade constante de 1,5 m/s. No restante da prova, sua velocidade é de 2,0 m/s. Qual será sua velocidade média durante a prova?

S₂ = 5000 – 3000 = 2000 m.

V = (S₁ + S₂)/(S₁/V₁ + S₂/V₂) = (3000 + 2000)/(3000/1,5 + 2000/2) = 5000/(2000 + 1000) = 5000/3000 = 1,6 m/s.

13. Um automóvel viaja a uma velocidade escalar média de 50 km/h durante 10 min e a 80 km/h durante os 20 min seguintes. Qual é a velocidade escalar média no intervalo de 30min?

V = (t₁.V₁ + t₂.V₂) /(t₁ + t₂) = (50.10 + 80.20) /(10 + 20) = 2100/30 = 70 km/h.

14. O crescente aumento do número de veículos automotores e o consequente aumento de engarrafamentos têm levado a Prefeitura do Município de São Paulo a um monitoramento intensivo das condições de circulação nas vias da cidade. Em uma sondagem, um funcionário da companhia de trânsito deslocou seu veículo, constatando que

• permaneceu parado, durante 30 minutos;

• movimentou-se com velocidade de módulo 20 km/h, durante 12 minutos;

• movimentou-se com velocidade de módulo 45 km/h, durante 6 minutos.

Da análise de seus movimentos, pôde-se constatar que, para o deslocamento realizado, a velocidade escalar média desenvolvida foi, em km/h:

V = (t₁.V₁ + t₂.V₂) /(t₁ + t₂ + t₃) = (12.20 + 6.45) /(12 + 6 + 30) = (240 + 270)/48 = 510/48 = 10,6 km/h.

15. Uma família viaja de carro com velocidade escalar constante de 100 km/h, durante 2,0 h. Após parar em um posto de gasolina por 30 min, continua sua viagem por mais 1h 30 min com velocidade escalar constante de 80 km/h. A velocidade escalar média do carro durante toda a viagem foi de:

V = (t₁.V₁ + t₂.V₂) /(t₁ + t₂ + t₃) = (2.100 + 1,5.80) /(2 + 1,5 + 0,5) = (200 + 120)/4 = 320/4 = 80 km/h.

16. Um carro percorre metade de sua trajetória com velocidade escalar média de 30 km/h e a outra metade com velocidade de 70 km/h. A velocidade escalar média em toda a trajetória foi de:

V = 2.V₁.V₂ /(V₁ + V₂) = 2.30.70 /(30 + 70) = 4200/100 = 42 km/h.

17. Um automóvel é dirigido ao longo de uma estrada caracterizada por zonas alternadas de velocidades permitidas de 40 km/h e 60 km/h. Se o motorista mantém rigorosamente essas velocidades nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo comprimento, qual a velocidade média, em km/h, em um trecho correspondente a um número par de zonas?

V = 2.V₁.V₂ /(V₁ + V₂) = 2.40.60 /(40 + 60) = 4800/100 = 48 km/h.

18. Uma partícula percorre uma trajetória retilínea AB, onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB. A velocidade da partícula no trecho AM é de 3 m/s e no trecho MB é de 2 m/s. A velocidade média entre os pontos A e B vale:

V = 2.V₁.V₂ /(V₁ + V₂) = 2.3.2 /(3 + 2) = 12/5 = 2,4 km/h.

19. Um trem de 200 m de comprimento atravessa completamente um túnel de 1000 m em 1 min. Qual é a velocidade média do trem ?

V = (L + X)/∆t = (200 + 1000)/60 = 1200/60 = 20 m/s.

20. O maquinista de um trem de 400 m de comprimento mede o tempo para o trem atravessar completamente um túnel, obtendo 15 segundos. O maquinista sabe também que o trem se manteve em movimento uniforme, a 40 m/s. Qual o comprimento do túnel?

V = (L + X)/∆t → 40 = (400 + X)/15 → 400 + X = 600 → X = 600 – 400 = 200 m.

21. Um trem de 200 m de comprimento move-se com velocidade escalar constante de 72 km/h. Calcule o tempo decorrido para esse trem passar completamente por um túnel de 100 m de extensão:

V = (L + X)/∆t → 20 = (200 + 100)/∆t → 20 = 300/∆t → ∆t = 300/20 = 15 s.

22. Um ponto material parte do repouso e percorre em linha reta 120 m em 60 s, com aceleração constante. A sua velocidade no instante 60 s, vale:

∆S/∆t = (V + V₀)/2 → 120/60 = (V + 0)/2 → 2 = V/2 → V = 4 m/s.

23. Um Boeing 747 (jumbo) para levantar vôo, percorre 3.200 m de pista. Ele parte do repouso com aceleração constante e após percorrer os 3.200 m deixa a pista com velocidade de 160 m/s. Quanto tempo, em segundos, é gasto nesta operação?

∆S/∆t = (V + V₀)/2 → 3200/∆t = (160 + 0)/2 → 3200/∆t = 160/2 → ∆t =3200/80 = 40 s.

24. Um trem, composta de uma locomotiva de comprimento L e de 19 vagões, todos também de comprimento L, está se deslocando, com aceleração constante, em um trecho reto de ferrovia. Um estudante, parado à margem da estrada e munido de equipamento adequado, mediu a velocidade do trem em dois instantes: V_i = 15 m/s quando passou por ele a extremidade dianteira do trem e, 20 segundos mais tarde, V_f = 25 m/s, quando por ele passou a extremidade traseira. Determine, em metros, o comprimento L de cada vagão. Despreze o espaço entre os vagões.

∆S/∆t = (V + V₀)/2 → ∆S/20 = (15 + 25)/2 → ∆S/20 =40/2 → ∆S/20 =20 → ∆S = 400 m. Então: 20.L = 400 → L = 20 m.

25. Um ponto material está em movimento obedecendo à seguinte função horária dos espaços: s = 2,0t³ + 4,0t – 4,0 (SI). Calcule a velocidade escalar no instante t = 2,0 s.

V = dS/dt = 6t² + 4 = 6.2² + 4 = 6.4 + 4 = 24 + 4 = 28 m/s.

26. A função horária do espaço referente ao movimento de uma partícula é s = 5t³ – 6t, válida no SI. Determine a velocidade escalar no instante 1 s:

V = dS/dt = 15t² – 6 = 15.1² – 6 = 15.1 – 6 = 15 – 6 = 9 m/s.

27. Um ponto material em movimento obedece à seguinte função horária: s = 20,0 – 2,0t + 4,0t² (com o espaço em metros e o tempo em segundos). Determine o valor da velocidade escalar no instante t₁ = 3,0 s.

V = dS/dt = 8t² – 2 = 8.3² – 2 = 8.9 – 4 = 72 – 4 = 68 m/s.

28. No mundo de ficção de Harry Potter criado pela autora J.K. Rowling as vassouras voadoras são um dos meios de transporte mais populares entre os bruxos e bruxas, e são também usadas para os jogos no mundo mágico, como o quadribol. Assim como no mundo dos trouxas há os aficcionados por carros, no mundo dos bruxos há toda uma cultura relacionada às vassouras. Os estudantes do primeiro ano de Hogwarts não podem ter vassouras na escola, mas, a regra é quebrada por Harry para que ele possa jogar no time de quadribol.

No quadro abaixo temos algumas vassouras com suas velocidades máximas.

Vassoura	Velocidade
Oakshaft 79	34 000 m/h
Cleansweep 11	80 km/h
Comet 140	3 000 000 cm/h
Firebolt	4 km/min
Moontrimmer	0,0277 km/s
Twigger 90	2030 hm/h
Nimbus 2000	44,5 m/s
Shooting Star	800 dam/h

A vassoura mais veloz é a:

A) Oakshaft 79 B) Comet 140 C) Nimbus 2000 D) Firebolt E) Twigger 90

V₁ = 34.000 m/h = 34 km/h

V₂ = 80 km/h

V₃ = 3.000.000 cm/h = 30 km/h

V₄ = 4 km/min = 4.60 = 240 km/h

V₅ = 0,0277 km/s = 0,0277.3600 = 99,72 km/h

V₆ = 2030 dm/h = 203 km/h

V₇ = 44,5 m/s = 44,5.3,6 = 160,2 km/h

V₈ = 800 dam/h = 80 km/h .

29. Percorrendo-se uma distância d a 30 km/h, gasta-se 2 h a menos do que se a percorresse a 12 km/h. Qual é o valor de d ?

V = ΔS/Δt → 30 = d/t → d = 30t. Porém, temos também: V = ΔS/Δt → 12 = d/(t + 2) → d = 12(t + 2). Igualando os resultados, teremos: 30t = 12t + 24 → 18t = 24 → t = 24/18 = 4/3 h. Então: d = 30.4/3 = 120/3 = 40 km.

30. Um automóvel viajando com determinada velocidade média completou um percurso de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos minutos durou a viagem ?

V = ΔS/Δt → V = 480/x → 480 = V.x. Porém, temos também: V = ΔS/Δt → V + 20 = 480/(x – 2) → 480 = (V + 20).(x – 2). Igualando os resultados, teremos: V.x = V.x – 2.V + 20.x – 40 → 2.V = 20.x – 40. Dividindo tudo por 2, temos: V = 10.x – 20. Substituindo o valor de V: 480/x = 10.x – 20 → 480 – 10.x² + 20.x = 0. Dividindo tudo por 10, temos: x² – 2.x – 48 = 0. Logo:

Δ = 4 + 192 = 196. Assim, x = (2 + 14/)2 ou ( 2 - 14)/2, → sendo x’ = 8 h e x’’ = – 6 h (não convém). Então: Δt = x = 8 h = 480 min.

31. Um móvel desloca-se num plano inclinado de 6,0 metros de altura e 8 metros de base até o topo do plano, num intervalo de tempo de 20 segundos. A velocidade média deste móvel, em m/s, é:

∆S² = 6² + 8² → ∆S = 10m ; logo V_M = ∆S/∆t = 10/20 = 0,5 m/s.

32. Em determinado instante da empolgante final da Corrida de São Silvestre, realizada em 31 de dezembro de 1997, o paranaense Emerson Iser Bem estava 25 m atrás do favorito, o queniano Paul Tergat, quando, numa reação espetacular, imprimiu uma velocidade escalar constante de 7,7 m/s, ultrapassando Tergat e vencendo a prova com uma vantagem de 75 m. Admitindo que a velocidade escalar de Tergat se manteve constante e igual a 5,2 m/s, calcule o intervalo de tempo decorrido desde o instante em que Iser Bem reagiu, imprimindo a velocidade escalar de 7,7 m/s, até o instante em que cruzou a linha de chegada.

Enquanto Tergat percorreu x, Iser Bem percorreu x + 100:

V = ΔS/Δt → Para Tergat: 5,2 = x/Δt → x = 5,2.Δt e Para Iser Bem: 7,7 = (x + 100)/Δt → x + 100 = 7,7.Δt → x = 7,7.Δt – 100. Igualando os resultados, teremos: 5,2.Δt = 7,7.Δt – 100 → 2,5.Δt = 100 → Δt = 100/2,5 = 40 s.

Em gráficos

I ) No gráfico V x T, podemos achar a velocidade média pela fórmula V = ∆S/∆t, onde ∆S é igual numericamente a área da figura formada ou através de V_M = (V + V₀) / 2.

II ) No gráfico S x T, podemos achar a velocidade média pela fórmula V = ∆S/∆t.

33. A velocidade de um carro, como função do tempo, pode ser descrita pelo gráfico ao lado. Qual a velocidade média do movimento?

a) 20 m/s b) 15 m/s c) 10 m/s d) 5 m/s

ΔS = (B + b).H/2 = (20 + 10).20/2 = 30.10 = 300 m.

V_M = ΔS/Δt = 300/20 = 15 m/s.

34. Um objeto se move ao longo de uma reta. Sua velocidade varia linearmente com o tempo, como mostra o gráfico abaixo.

A velocidade média do objeto, no intervalo de tempo compreendido entre t = 4 s e t = 8 s, é:

a) 6 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s d) 12 m/s e) 14 m/s

V_m = (V + V₀)/2 = (12 + 8)/2 = 20/2 = 10 m/s.

35. O gráfico abaixo representa o deslocamento de um móvel num intervalo de tempo de 0 a 100 segundos. Quais são as velocidades respectivas deste móvel nos instantes: i) 0 – 30 s; ii) 30 – 60 s e iii) 60 – 100 s?