INTRODUÇÃO À ÓPTICA 1

01. Quando o Sol está a pino, uma menina coloca um lápis de 7,0 x 10^–3 m de diâmetro, paralelamente ao solo, e observa a sombra por ele formada pela luz do Sol. Ela nota que a sombra do lápis é bem nítida quando ele está próximo ao solo mas, à medida que vai levantando o lápis, a sombra perde a nitidez até desaparecer, restando apenas a penumbra. Sabendo-se que o diâmetro do Sol é de 14 x 10⁸ m e a distância do Sol à Terra é de 15 x 10¹⁰ m, pode-se afirmar que a sombra desaparece quando a altura do lápis em relação ao solo é de:

a) 1,5 m     b) 1,4 m     c) 0,75 m     d) 0,30 m     e) 0,15 m

H/h = D/d → 15.10¹⁰/h = 14.10⁸/7.10^-3  → 15.10¹⁰/h = 2.10¹¹ → h = 15.10¹⁰/2.10¹¹ = 7,5.10^-1 = 0,75 m.

02. Uma câmara escura cúbica, de lado 10 cm, encontra-se a uma distância de 20 m de uma árvore de altura 8 m. Qual a altura da imagem projetada sobre o anteparo fosco da câmara escura?

a) 4 cm     b) 5 cm     c) 6 cm     d) 7 cm     e) 8 cm

H/h = D/d → 800/h = 2000/10  → 800/h = 200 → h = 800/200 = 4 cm.

(Obs.: H = 8 m = 800 cm e D = 20 m = 2000 cm)

03. Mediante câmara escura de orifício, obtém-se uma imagem do Sol, conforme o esquema abaixo:

Dados:

distância do Sol à Terra a = 1,5 x 10¹¹ m

distância do orifício ao anteparo b = 1,0 m

diâmetro da imagem d = 9,0 mm

Para o diâmetro D do Sol resulta, aproximadamente:

a) 1,7 x 10¹⁰ m    b) 1,4 x 10⁹ m    c) 1,7 x 10⁷ m    d) 1,4 x 10¹² m

H/h = D/d → 1,5.10¹¹/h = D/9.10^-3  → h = 1,5.10¹¹.9.10^-3 = 13,5.10⁸ = 1,35.10⁹ = 1,4.10⁹ m.

04. Uma pessoa de 1,8 m de altura está em pé ao lado de um edifício de altura desconhecida. Num dado instante, a sombra dessa pessoa, projetada pela luz solar, tem uma extensão de 3 m, enquanto a sombra do edifício tem 80 m de extensão. Qual a altura do edifício?

a) 12 m     b) 24 m     c) 36 m     d) 48 m

H/h = D/d → H/1,8 = 80/3  → H = 80.1,8/3 = 80.0,6 = 48 m.

05. Um homem de 2,0 m de altura coloca-se a 0,5 m de uma câmara escura (de orifício) de comprimento 30 cm. O tamanho da imagem formada no interior da câmara

é:

a) 0,8 m     b) 1,0 m     c) 1,2 m     d) 1,4 m

H/h = D/d → 2/h = 0,5/0,3  → 2/h = 5/3 →  h = 6/5 = 1,2 m.

06. Um aparelho fotográfico rudimentar é constituído por uma câmara escura com um orifício numa face e um anteparo de vidro fosco na face oposta. Um objeto luminoso em forma de L se encontra a 2 m do orifício e a sua imagem no anteparo é 5 vezes menor que o seu tamanho natural. Determine a largura d da câmara.

a) 15 cm     b) 25 cm     c) 40 cm     d) 100 cm

H/h = D/d → H/(H/5) = 2/d  → 5H/H = 2/d →  5 = 2/d →  d = 2/5 = 0,4 m = 40 cm.

07. Na figura abaixo, estão representados um morro, uma árvore e um observador (O). A altura da árvore é de 50 m e a distância entre ela e o observador, de 300 m. A

distância entre o observador e o ponto M é de 800 m. Qual é, aproximadamente, a altura (H) do morro se, do ponto de vista do observador, o topo da árvore e o topo do morro estão alinhados?

a) 133 m     b) 512 m     c) 1 100 m     d) 1 831 m     e) 2 400 m

H/50 = 800/300 → H = 50.8/3 = 400/3 = 133 m.

08. Um observador nota que um edifício projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento no instante em que um muro de 1,5 m de altura projeta uma sombra

de 50 cm. Determine a altura do edifício:

a) 100 m     b) 25 m     c) 10 m     d) 90 m

I. H/10 = 150/50 → H/10 = 3 → H = 30 m.

II. Como temos 10 andares logo cada andar apresentará uma altura de 3 m (30/10 = 3 m).

09. Um garoto verifica que, se colocar verticalmente um lápis de 10 cm de comprimento a 50 cm de seus olhos, ele consegue cobrir visualmente 10 andares de um prédio situado a 150 m de distância. Determine a altura de cada andar do prédio.

a) 2 m     b) 2,5 m     c) 3 m     d) 3,5 m     e) 3,75 m

I. H/10 = 150/50 → H/10 = 3 → H = 30 m.

II. Como temos 10 andares logo cada andar apresentará uma altura de 3 m (30/10 = 3 m).

10. Um edifício projeta no solo uma sombra de 40 m. No mesmo instante, um observador toma uma haste vertical de 20 cm e nota que sua sombra mede 0,80 m.

A altura do edifício é de:

a) 4 m     b) 8 m     c) 10 m     d) 20 m     e) 40 m

H/0,2 = 40/0,8 → H/2 = 40/8 → H = 80/8 = 10 m.

11. Uma câmara escura de orifício tem um anteparo fosco quadrado de 10 cm de lado. A distância do orifício até o anteparo é de 30 cm. Quando se focaliza uma árvore

de uma certa distância, sua imagem excede 2 cm do tamanho da altura do anteparo. Aumentando em 1,50 m a distância entre a árvore e a câmara, a imagem adquire o mesmo tamanho do lado do anteparo. A altura da árvore é de:

a) 7,5 m     b) 9 m     c) 3 m     d) 6 m     e) 4,5 m

I. H/h = D/d → H.d = h.D = 12.D (Obs.: h = 10 + 2 = 12 cm e d = 30 cm)

II. H/h’ = D’/d → H.d = h’.D’ = 10.(D + 150) = 10D + 1500.

III. Igualando as duas equações, temos:

12D = 10D + 1500 → 2D = 1500 → D = 1500/2 = 750 cm.

IV. Substituindo o valor de D na primeira equação temos:

H.d = 12D → H.30 = 12.750 → H.3 = 12.75 → H = 12.75/3 = 4.75 = 300 cm = 3 m.

Obs.: se quiserem usar a segunda equação a resposta será a mesma, veja:

H.d = 10D + 1500 → H.30 = 10.750 + 1500 → H.30 =7500 + 1500 → H.30 =9000 → H = 9000/30 = 300 cm = 3 m.

12. A relação entre os tamanhos das imagens de um indivíduo de 1,80 m de altura, formadas numa câmara escura através de um orifício, quando o indivíduo se encontra, respectivamente, às distâncias de 24 m e 36 m, será:

a) 3/2     b) 2/3     c) 1/3     d) 1/25     e) 2/25

I. H/h₁ = D/d → H.d = h₁.D = h₁.24.

II. H/h₂ = D’/d → H.d = h₂.D’ = h₂.36.

III. Igualando as duas equações, temos:

h₁.24 = h₂.36 → h₁/h₂  = 36/24 = 3/2. (os termos foram divididos por 12)

13. A um aluno foi dada a tarefa de medir a altura do prédio da escola que freqüentava. O aluno, então, pensou em utilizar seus conhecimentos de óptica geométrica e mediu, em determinada hora da manhã, o comprimento das sombras do prédio e dele próprio projetadas na calçada (L e l, respectivamente). Facilmente, chegou à conclusão de que a altura do prédio da escola era de cerca de 22,1 m. As medidas por ele obtidas para as sombras foram L = 10,4 m e l = 0,8 m. Qual é a altura do aluno?

a) 1,5 m     b) 1,7 m     c) 2,0 m     d) 2,4 m     e) 3,0 m

H/h = L/l → 22,1/h = 10,4/0,8  → 22,1/h = 104/8  → 22,1/h = 3 → h = 22,1/3 = 1,7 m.

14. Um feixe luminoso, partindo de fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de diâmetro. Sabendo-se que a distância da fonte ao disco é 1/3 (um terço) da

distância deste ao anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo são paralelos, pode-se afirmar que o raio da sombra projetada sobre o anteparo é de:

a) 20 cm     b) 25 cm     c) 30 cm     d) 40 cm     e) 15 cm

I. 10/h = (x/3)/l(x + x/3) → 10/h = (x/3)/l(4x/3) → 10/h = 1/4  → h = 4.10 = 40 cm.

II. R = h/2 = 40/2 = 20 cm.

15. Entre uma fonte pontual e um anteparo, coloca-se um objeto opaco de forma quadrada e de 30 cm de lado. A fonte e o centro da placa estão numa mesma reta que, por sua vez, é perpendicular ao anteparo. O objeto encontra-se a 1,50 m da fonte e a 3,00 m do anteparo. A área da sombra do objeto, produzida no anteparo, em m², é:

a) 0,18     b) 0,36     c) 0,81     d) 0,54     e) 0,60

I. 0,3/h = 1,5/(1,5 + 3) → 0,3/h = 1,5/4,5 → 0,3/h = 1/3 →  h = 0,3.3 = 0,9 m.

II. A = h² = 0,9² = 0,81 m².

16. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir

a) 30 cm     b) 45 cm     c) 50 cm     d) 80 cm     e) 90 cm

I. H/h = D/d → H/180 = 200/60 → H = 180.200/60 = 3.200 = 600 cm.

II. H/h = D/d → 600/180 = 150/d → d = 180.150/600 = 180/4 = 45 cm.

OU

H/180 = 200/60 e H/180 = 150/d, igualando as duas equações, temos:

200/60 = 150/d → d = 60.150/200 = 6.15/2 = 90/2 = 45 cm.

17. Uma pessoa se encontra a 10 metros de uma câmera escura. Sua imagem, projetada na parede posterior da câmera, tem comprimento de 20 cm. Se a pessoa se aproximar 2 metros da câmera, qual a variação percentual no tamanho da sua imagem?

a) 25%     b) 20%     c) 15%     d) 10%     e) 5%

H/h = D/d  →  H/20 = 10/d → H.d = 200 , e na segunda situação H/h’ = D’/d  →  H/h’ = 8/d → H.d = 8h’ , logo 8h’ = 200 → h’ = 25 cm, então ∆h% = (25 – 20)/20 = 5/20 = 0,25 = 25 %.

OU

20 cm ---------------- 100%

Δh = 5 cm ----------- x%

x = 500/20 = 25%.

18. Uma placa retangular de madeira tem dimensões 40 cm x 25 cm. Através de um fio que passa pelo baricentro, ela é presa ao teto de uma sala, permanecendo horizontalmente a 2,0 m do assoalho e a 1,0 m do teto. Bem junto ao fio, no teto, há uma lâmpada cujo filamento tem dimensões des­prezíveis. A área da sombra projetada pela placa no assoalho vale, em m²,

a) 0,90      b) 0,40      c) 0,30     d) 0,20     e) 0,10

I. H/h = D/d  →  3/1 = D/d →  D = 3d.

II. As dimensões lineares da sombra projetada no assoalho são o triplo

das dimensões lineares da placa. Logo:

A’ = (3.25).(3.40) = 75.120 = 9000 cm² = 0,9 m².

OU

(H/h)² = A’/A  →  (3/1)² = A’/40.25 →  9 = A’/40.25 →  A’ = 9.1000 = 9000 cm² = 0,9 m².

19. No teto de uma sala, cujo pé direito (medida do teto ao piso) vale 3,0 m, está fixa uma lâmpada linear de 20 cm (fonte extensa). Uma barra opaca de 1,0 m de comprimento está horizontalmente suspensa a 1,20 m do teto. Sabendo-se que os pontos médios da lâmpada e da barra definem a mesma vertical, e supondo-se que lâmpada e barra estejam paralelas, calcule o tamanho da sombra projetada é:

a) 2,0 m     b) 2,1 m     c) 2,2 m     d) 2,3 m     e) 2,4 m

I. h/0,2 = (1,2 + h)/1 → h – 0,2h = 0,24 → h = 0,3 m.

II. 0,3/0,2 = (0,3 + 3)/D → D = 3,3/1,5 = 2,2 m.

20. (UECE 2012.1.F2) Uma fonte de luz monocromática puntiforme ilumina um disco e projeta sua sombra em uma parede. Considere o diâmetro do disco muito maior que o comprimento de onda da luz. O disco está a uma distância de um metro da parede e sua sombra tem um perímetro perfeitamente circular, com área quatro vezes a área do disco. Assim, a distância entre a fonte de luz e a parede, em metros, é

a) 4/3     b) 4     c) 2     d) 3/4

I. Relacionando as áreas, sabendo que A₂ = 4.A₁.

A₂ = π.R₂² → 4.A₁ = π.R₂² → 4.π.R₁² = π.R₂² → 4.R₁² = R₂² → R₂ = 2.R₁.

II. Conforme a figura, faremos:

x/(x – 1) = R₂/R₁  → x/(x – 1) = 2R₁/R₁  → x/(x – 1) = 2  → 2x – 2 = x →  x = 2 m.

21. No teto de uma sala, cujo pé direito (medido do teto ao piso) vale 3,0 m está fixa uma lâmpada linear de 20 cm (fonte extensa). Uma barra opaca de 1,0 m de comprimento está horizontalmente suspensa  a 1,20 m do teto. Sabendo-se que os pontos médios da lâmpada e da barra definem uma mesma vertical, determine o tamanho da sombra projetada e o tamanho de cada uma das penumbras projetadas no solo, sabendo que a barra e lâmpada estão paralelos entre si.

I. Fazendo uma semelhança com os triângulos ABC e CEF.

0,2/1,2 = y/1,8 → 2/12 = y/1,8 → 1/6 = y/1,8 →  y = 1,8/6 = 0,3 m (este é o valor de cada penumbra)

II. Fazendo uma semelhança com os triângulos BCD e BEG.

1/1,2 = (y + x)/3 → 10/12 = (y + x)/3 → 12.(y + x)  = 30 (dividindo os dois termo por 6) →  2.(y + x) = 5 → 2y + 2x = 5 →  2.0,3 + 2x = 5 →  2x = 5 – 0,6 →  x = 4,4/2 = 2,2 m     (este é o valor da sombra)

22. Uma câmara escura de orifício fornece a imagem de um prédio, que se apresenta com altura de 5,0 cm. Aumentando-se 100 m a distância do prédio à câmara, a imagem se reduz para 4,0 cm de altura. Determine a distância do prédio à câmara na situação inicial que se encontrava.

I. H/h = D/d → H.d = h.D = 5.D.

II. H/h’ = D’/d → H.d = h’.D’ = 4.(D + 100) = 4D + 400.

III. Igualando as duas equações, temos:

5D = 4D + 400 → D = 400 cm.

23. No instante t = 0, um feixe horizontal de raios luminosos, provenientes da chama de uma vela A, atravessa um pequeno orifício de um anteparo e projeta uma pequena mancha luminosa B no anteparo visual, conforme a figura.

As distâncias da chama ao orifício e do orifício ao anteparo são, respectivamente, a e 2a. Se a vela queima a uma velocidade V = 2,0 cm/min, então a mancha luminosa se desloca verticalmente sobre o anteparo com velocidade (em cm/min):

a) 1,0      b) 2,0      c) 3,0      d) 4,0      e) 6,0

I. V = ΔS/Δt → Δt = ΔS/V, onde Δt₁ = Δt₂.

II. ΔS₁/V₁ = ΔS₂/V₂ →  a/2 = 2a/V₂  → 1/2 = 2/V₂  →  V₂ = 4 cm/min.

24. Um homem caminha, à noite, afastando-se de um poste luminoso. A altura do poste é 6,0 m e a do ho­mem, 2,0 m. Caminhando este a 4,0 km/h, com que velocidade escalar se move o ponto M (extremidade da sombra do homem)?

I. V = ΔS/Δt → Δt = ΔS/V, onde Δt₁ = Δt₂.

II. ΔS₁/V₁ = ΔS₂/V₂ →  6/V₁ = (6 – 2)/4  → 6/V₁ = 4/4  →  6/V₁ = 1 → V₁ = 6 km/h.