MATEMÁTICA PARA O ENEM

01. Em um supermercado, as latas de óleo de determinada marca foram empilhadas de tal forma que cada nível tem uma lata a menos que o nível anterior e o vigésimo nível tem apenas uma lata. A visão frontal de parte dessa pilha está ilustrada na figura abaixo.

Sabendo-se que a lata de óleo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 0,10 m x 0,10 m x 0,18 m, o volume da pilha de latas é, em m³:

a) 0,342      b) 0,036      c) 0,756      d) 0,378      e) 0,360

Começando pelo topo, o número de latas por pilha obedece à seqüência: (1, 2, 3, 4, ..., 20), que é uma PA em que a₁ = 1, a₂₀ = 20 e r = 1.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 = (a₁ + a_n).n/2 = (1 + 20).20/2 = 210 latas.

V_lata = 0,10 x 0,10 x 0,18 = 0,0018 m³.

Volume da pilha: 210 x 0,0018 = 0,378 m³.

02. Um vazamento, em um navio-tanque, provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela relação r(t)  = t /5.

 Adotando π = 3, o volume, em m³, de óleo vazado, após 2 minutos do início do vazamento, é:

a) 0,014     b) 0,016     c) 0,08     d) 0,02    e) 0,012

Após 2 minutos do início do vazamento, o raio da mancha será:

r(4)  = 2/5 = 0,4 m.

Adotando π = 3, o volume de óleo vazado é o de um cilindro de raio da base 0,4 m e altura 2,5 cm = 0,025 m. Portanto: V_óleo = π x (0,4)² x 0,025 = 0,012 m³.

03. Na bula de um determinado antibiótico, consta a seguinte informação:

Posologia

Crianças: administrar de 20 mg a 50 mg/kg/dia VO*, de 8/8h.

* por vio oral

(Disponivel em: http://www.pdamed.com.br/genericos/pdamed_0001_0018_00650.php Acesso em: 07.03.2009.)

Segundo a bula, para uma criança de 27 kg, a dose máxima desse antibiótico a ser administrada de 8 em 8 horas e, em miligramas,

a) 500.      b) 450.      c) 400.      d) 350.      e) 300.

1) A dose máxima diária é (50 mg/kg) . 27 kg = 1350 mg

2) Cada uma das 3 doses, a ser aplicada de 8 em 8 horas é de = 450 mg.

04. O Sr. João precisa trocar as telhas da sua casa. Pesquisando nas lojas de material de construção, optou por uma ecotelha. A ecotelha e uma telha ondulada produzida com material reciclável como tubos de pasta de dentes. Entre outras características, ela apresenta elevada resistência a ação dos raios ultravioleta e infravermelhos; não absorve umidade; permite o isolamento térmico; tem custo acessível e substitui, com vantagens, o perigoso cimento-amianto.

(Adaptado de: http://www.arq.ufsc.br/arq5661/trabalhos_2003-1/ecovilas/ecotelha.htm. Acesso em: 2/9/2009.)

Após retirar as telhas velhas e como não havia necessidade de alterar a estrutura do telhado, o Sr. João planejou a colocação das novas telhas. A figura apresenta as características da estrutura do telhado e como as telhas serão dispostas.

•  BE é paralelo a CD.

•  BC é paralelo a DE.

•  AE é perpendicular a AB.

•  AE é perpendicular ao plano ABC do teto.

• A medida do angulo ABE e 16⁰.

• A medida do segmento  e 3,84 m.

Considerando que as ecotelhas serão colocadas de modo a revestir o retângulo BCDE, sem ultrapassar as suas bordas, e sabendo que as dimensões da telha são 2,20 m x 0,92 m, o Sr. João calculou que a medida do transpasse das telhas é, em centímetros: Dados: sen 16⁰ = 0,28; cos 16⁰ = 0,96; tg 16⁰ = 0,29.

a) 10      b) 20      c) 30      d) 40      e) 50

No Δ ABE, temos:

cos 16^o = AB/BE  =>  0,96 = 3,84/BE =>   BE = 3,84/0,96 = 4 m = 400 cm.

Se x, em centímetros, é a medida do transpasse é 2,20 m = 220 cm e a medida de cada telha, temos: BE = 220 + 220 – x  400 = 440 – x  x = 40 cm.

05. “Lixo é basicamente todo e qualquer resíduo sólido proveniente das atividades humanas ou geradas pela natureza em aglomerados urbanos. O lixo faz parte de nossa vida, e tratá-lo bem é uma questão de bom senso, cidadania, e bem-estar, agora, e principalmente no futuro.” (www.loucosporlixo.com.br). Pensando nisso, um grupo teatral quer representar uma peça sobre a importância da reciclagem do lixo. Eles querem montar um cenário no qual 3 paredes de 4 m de altura por 5 m de comprimento deverão ser revestidas de CDs defeituosos. Sabendo- se que cada CD possui 12 cm de diâmetro, quantos CDs, aproximadamente, serão necessários para revestir essas paredes? (Use π = 3,14.)

a) 5 200       b) 5 300       c) 5 400        d) 5 500      e) 5 600

• Área do cenário: A = 3.4.5 = 60 m².

• Área de cada CD: A₁ = π.R² = 3,14.(0,06)² = 0,011304 m².

• O número de CDs necessários é: N = 60/0,011304 = 5 308.

06. Um CD comum, que comporta em média 80 minutos de música, tem 12 cm de diâmetro,

sendo que não é possível gravar em seu círculo interno de diâmetro 4 cm. Considerando que o tempo total de música que pode ser gravada num CD é diretamente proporcional à sua área de gravação, se duplicarmos as medidas dos diâmetros do CD e do círculo interno em que não se

pode gravar, será possível gravar neste novo CD:

a) 160 minutos de música.

b) 240 minutos de música.

c) 320 minutos de música.

d) 400 minutos de música.

e) 480 minutos de música.

S₀: área de gravação de um CD comum, em cm².

S_f: área de gravação do novo CD, em cm².

Temos: S₀ = π.6² – π.2² = 32π e S_f = π.12² – π.4² = 128π.

Sendo t o tempo em minutos procurado, temos: t = 128π.80/32π = 320 min.

07. Para expor toda a sua linha de produtos em uma feira de negócios, uma empresa dividiu a área total do seu stand em 3 quadrados e 6 retângulos, como mostra a figura. As partes sombreadas na figura, que têm áreas iguais e foram destinadas à exposição da linha de som automotivo, irão ocupar, juntas:

a) 40 m²     b) 48 m²      c) 50 m²      d) 56 m²      e) 60 m²

A = 4.6 + 4.6 = 24 + 24 = 48 m². Obs.: L² = 16  L = 4 m e B² = 36  B = 6 m.

08. A figura abaixo mostra uma porta entreaberta e o canto de uma sala.

  

As retas r e s; s e t; x e r tem, respectivamente, as posições relativas:

a) paralelas, paralelas e perpendiculares.

b) paralelas, perpendiculares e reversas.          

c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.

d) reversas, paralelas e perpendiculares.

e) perpendiculares, reversas e paralelas.

1) As retas r e s são paralelas.

2) As retas s e t são perpendiculares.

3) As retas x e r são reversas.

09. Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas a seguir.

Calcule o volume mínimo desse hangar.

a) 140 392 m³     b) 150 000 m³     c) 132 472 m³     d) 50 092 m³     e) 70 186 m³   

V = a.b.c = 73.24,1.79,8 = 140 392,14 m³.

10. Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo a disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes.

Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação.

a) R$ 63,10     b) R$ 58,60     c) R$ 45,70     d) R$ 87,20     e) R$ 91,90

1) Admitindo-se que a configuração seja possível, a quantidade de moedas em cada camada são os termos da sequência (1; 6; 12; 18; …; 84).

2) Como (6, 12, 18, … 84) é uma PA, temos: a_n = a₁ + (n – 1) . r  84 = 6 + (n – 1) . 6  n = 14

3) A soma dos termos da 1^a. sequência é 1 + (6 + 84).14/2 = 1 + 90 . 7 = 631

4) 631 moedas de R$ 0, 10 equivalem a R$ 63, 10.

Obs.: S_N = (a₁ + a_N).n/2

11. O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado. Quantas quadriculas pintadas tem o décimo desenho?

a) 154      b) 168     c) 176     d) 181     e) 193

Observe que a quantidade de quadriculas pintadas em cada desenho são termos da sequência (1; 5; 13; 25; ...; a₁₀) cujas diferenças formam a P.A. (4; 8; 12; ...; b₉). O décimo termo da primeira é a soma do primeiro com a soma dos nove primeiros termos da P.A. Assim,

b₉ = b₁ + (9 – 1) . r = 4 + 8 . 4 = 36 e a₁₀ = 1 + S₉ = 1 + (4 + 36).9/2 = 181.

12. (UERJ) Utilize a tabela abaixo para responder a questão,

  

Considere que o acréscimo na produção B, de maio para junho, seja estendido aos meses subseqüentes. Calcule a quantidade de produtos B que serão fabricados em dezembro de 2000.

a) 120     b) 220     c) 280     d) 150     e) 135

a_n = a₁ + (n -1).R = 80 + (8 – 1).20 = 80 + 7.20 = 80 + 140 = 220. De maio até dezembro há 8 meses corridos.

13. A poluição mais comum encontrada em nossos rios é a causada pelo lixo que o homem joga neles. Produtos químicos e esgoto afetam os lençóis d´água que formam as nascentes. O excesso de sujeira funciona como um escudo para a luz do sol, afetando o ciclo biológico dos seres vivos que o habitam, além de “roubar” o oxigênio de suas águas. Com o crescimento da população e, consequentemente, de consumidores, uma indústria vem dobrando ano a ano a

quantidade de litros de poluentes jogados em um rio desde a sua inauguração. Sabe-se que, nesse ano de 2010, ao que tudo indica (segundo a sequência), ela deverá lançar no rio 819.200 litros de poluente. Identifique a quantidade de poluentes em litros que essa indústria lançou nesse rio no ano de seu surgimento em 1996.

a) 10 litros     b) 20 litros     c) 30 litros     d) 40 litros    e) 50 litros

a₁ = ano de 1996.

a₁₅ = ano de 2010 (2010 – 1996 + 1)

q = razão da P.G. = 2.

a₁₅ = a₁ × q¹⁴  819.200 = a₁ × 2¹⁴   a₁ = 819 200/16 384 = 50 litros.

14.

Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o

anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante. Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a:

a) 177      b) 188       c) 237       d) 240       e) 320

Para contar de 1/8 até o 1, há 8 numerais e assim por diante, então: 10.8.3 = 240 s.

15. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.

Determine, ao final de 9 dessas operações a altura, em metros, da pilha.

I. A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em que se repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a_n) = (1, 2, 4, 8, ...), uma PG de razão 2.

Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a₉ = 1.2⁸ = 256.

II. A altura da pilha será de 256.0,5 = 128 cm = 1,28 m.

16. Um avião possui 120 poltronas de passageiros distribuídas em 20 filas. Cada Fila tem 3 poltronas do lado esquerdo (denotadas por A, B, C)  e 3 do lado direito (denotadas por D, E, F), separadas pelo corredor do avião.

Considere que duas poltronas são vizinhas quando estão numa mesma fila e não há poltrona nem corredor entre elas. Nota: A inversão de posição entre os membros de um casal em poltronas vizinhas caracteriza maneiras distintas.
De quantas maneiras distintas dois passageiros podem sentar-se nesse avião numa mesma fila?
a) 250     b) 600    c) 800     d) 7200     e) 36 000

6.5.20 = 600

17. Maurício de Sousa, criador de uma famosa revista com histórias em quadrinhos, baseou a criação de seus personagens em amigos de infância e nos filhos, conferindo a cada um deles características distintivas e personalidades marcantes. A turma da Mônica e todos os demais personagens criados pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem carinhosa, alegre, descontraída e até matemática, dirigida às crianças e aos adultos de todo o mundo.

Se os personagens da história em quadrinhos acima continuassem permutando as letras, com o objetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles obteriam mais:

a) 360 anagramas.

b) 720 anagramas.

c) 362 anagramas.

d) 358 anagramas.

e) 560 anagramas.

P6,2 = 6!/2! = 720/2 = 360, porém já foram utilizados 2 anagramas restando 358. Obs.: tem duas vogais O usado na palavra loucos.

18. Observe o quadrinho abaixo.

  

As quatro pessoas que conversavam no banco da praça poderiam estar sentadas em outra ordem. Considerando que o fumante ficou sempre numa das extremidades, o número de ordenações possíveis é:

a) 4      b) 6      c) 12      d) 24      e) 48

2.P3 = 2.3! = 2.3.2.1 = 12.

19. O estudo da genética estabelece que, com as bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G), podem-se formar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e G-C.

Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez desses pares, de modo que:

  

- dois pares consecutivos não sejam iguais;

- um par A-T não seja seguido por um par T-A e vice-versa;

- um par C-G não seja seguido por um par G-C e vice-versa. 

Sabe-se que dois fragmentos de DNA são idênticos se constituídos por pares iguais dispostos na mesma ordem. Logo, o número de maneiras distintas que o cientista pode formar esse fragmento de DNA é:

a) 2¹¹      b) 2²⁰      c) 2 × 10      d) 2¹⁰      e) 2² × 10

PFC = 4 ⋅ 2⁹ = 2² · 2⁹ = 2¹¹.

20. Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual em milhões de toneladas ainda é inferior à da Alemanha, da Austrália, do Canadá, da China, dos EUA, da França, da Índia e do México. O gráfico abaixo mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000.

Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil na produção mundial de sal em 2000 foi de:

a) 4%    b) 5%    c) 6%    d) 11%

A produção mundial é igual a 6 + 16 + 9 + 13 + 30 + 43 + 7 + 15 + 9 = 148 milhões. Logo, a participação do Brasil é 6/148 = 0,04 ou 4%.

21. O vôlei masculino brasileiro perdeu a final olímpica em Pequim para os Estados Unidos e encerrou com medalha de prata um ciclo de glorias. Entre os jogadores que participaram dessa Olimpíada, destacam-se Andre Heller, Bruninho, Giba, André Nascimento, Serginho e Rodrigão. O gráfico seguinte apresenta a altura de cada um deles.

Determine o desvio-padrão das alturas dos seis jogadores destacados no texto.

a) 6,4       b) 7,2       c) 8,1       d) 9,0       e) 9,5

I. Média das alturas

M = (184 + 190 + 192 + 195 + 199 + 204)/6 = 1164/6 = 194 cm.

II. Variância

V = (184 – 194)² + (190 – 194)² + (192 – 194)² + (195 – 194)² + (199 – 194)² +  (204 – 194)² /6 = (100 + 16 + 4 + 1 + 25 + 100)/6 = 246/6 = 41.

III. Desvio padrão (D² = 41)

D =  6,4.

22. Carol pretende cercar uma região retangular no sítio da família para deixar o cachorro Totó. Como ela só dispõe de 24 metros de tela, decidiu aproveitar a parede externa de um galpão. As dimensões do cercado, em metros, são x e z, e estão indicadas na figura abaixo.

Qual deve ser o valor de x para que a área do cercado de Totó seja a maior possível?

a) 10     b) 8     c) 6     d) 4      e) 2

z = 24 - 2x.

A_cercada = x . z = x . (24 - 2x) = 24x - 2x².

x_V = - b/2.a = - 24/2.(-2) = 6. X é o ponto máximo.

Esse material é dedicado aos professores Almir Neto, Valdiney, tiago Emanuel e João Belo.