RESOLUÇÃO DO TD DE CINEMÁTICA DO 3 ANO

MÓDULO 2 –M.R.U E M.R.U.V.

01. a) V, F, V, V    

I. a = /2 = 40/2 = 20 m/s². (Verdadeiro)

II. ΔS = ( 20).1/2 + 20.1/2 =  10 +  10 = 0. (Falso)

III. S = S₀, pois ΔS = 0. (Verdadeiro)

IV. Entre 2 s e 3 s temos M.U. com V > 0 (progressivo). (Verdadeiro)

02. b) F, F, V, F      

I. A partícula pode está em movimento. (Falso)

II. A área compreendida sob um gráfico da velocidade em função do tempo é o deslocamento da partícula no dito intervalo de tempo. (Falso)

IV. A velocidade é expressa em unidades de distância divididas por tempo. (Falso)

03. b)         

t₁ = X/V₁ e t₁ = X/V₂, onde ΔS₁ = ΔS₂ = X.

V_m = (ΔS₁ + ΔS₂)/(t₁ + t₂) = (X + X)/[(X.V₁.V₂)/(V₁ + V₂)] = 2.X.V₁.V₂/(V₁ + V₂) =  . 

04. c) 10 m/s²          

Cálculo da velocidade média: V_m = ΔS/Δt = 320/4 = 80 m/s.

Cálculo da velocidade no 1⁰ ponto: V_m = (V₁ + V₂)/2  80 = (V₁ + 100)/2  V₁ = 60 m/s.

Cálculo da aceleração: V₂ = V₁ + at  100 = 60 + a.4  a = 40/4 = 10 m/s².

05. c) A forma da trajetória de um móvel depende do referencial adotado.

I. Um corpo que se apresenta parado pode ter aceleração (M.R.U.V.)

II. No movimento balístico, a projeção horizontal da velocidade é uniforme. (M.R.U.)

III. No gráfico cartesiano do espaço em função do tempo, o coeficiente angular representa a velocidade.

06. b) 15 m/s       

ΔS = (B + b).H/2 = (20 + 10).20/2 = 30.10 = 300 m.

V_M = ΔS/Δt = 300/20/ 15 m/s.

07. d) H = 34 m

ΔS = (B + b).H/2 = (10 + 6).4/2 = 16.2 = 32 m.

H = ΔS + h = 32 + 2 = 34 m.

08. c) 38,4 m      

Para o caminhão (M.U.):

S_C = S_0C + V_C.t = 0 + 8.t = 8t = 8.12 = 96 m.

Para o automóvel (M.U.V.):

I. a_A = 8/10 = 0,8 m/s².

II. S_A = S_0A + V_0A.t + a_A.t²/2 = 0 + 0 + 0,8.t²/2 = 0,4t² = 0,4.12² = 0,4.144 = 57,6 m.

Distância de separação:

ΔS = 96 – 57,6 = 38,4 m.

09. a) 20         

S_A = S_0A + V_0A.t + a_A.t²/2 e S_B = S_0B + V_B.t, então, S_A = S_B  0,5t²/2 = 5t   0,25t² = 5t   t = 5/0,25 = 20 s.

10. d) 120 km/h

Ele deve cumprir os 40 km nos 20 min que restam (9h – 8h40min = 20 min), assim, temos:

V_m = ΔS/Δt = 40 km/20 min = 40 km/(1/3) min =  40.3 = 120 km/h.

11. a) 75 m (NULA)         

(V + V₀)/2 = ΔS/Δt   (40 + 5)/2 = ΔS/3   45/2 = ΔS/3   ΔS = 22,5.3 = 67,5 m.

A questão está nula, porém se a velocidade fosse de 45 m/s, a resposta correta seria o item A, 75 m.

12. b) 450 m       

Δs = (B + b).h/2 =  (40 + 20).15/2 = 60.15/2 = 30.15 = 450 m.

13. b) 2 m/s²          

v = v₀ + a ⋅ t ⇒ 0 = 10 + a ⋅ 5 ⇒ a = – 2 m/s² ⇒ |a| = 2 m/s².

14. a) 288          

ΔS/Δt = (V + V₀)/2  600/15 = (V + 0)/2  V = 2.40 = 80 m/s = 80.3,6 = 288 km/h.

15. c) 100 km         

As velocidades dos automóveis X e Y:

V_x = tg α_x = 40/0,8 = 50 km/h.

V_y = tg α_y = (70 – 50)/0,8 = 25 km/h.

Posições iniciais: S_0x = 0 e S_0y = 50 km

As equações horárias da posição: (S = S₀ + Vt)

S_x = 50t e S_y = 50 + 25t

No encontro S_x = S_y  50t = 50 + 25t  25t = 50  t = 2 h

A posição do encontro: S_x = S_y = 50 x 2 = 100 km.

16. a) 0,5          

A cada segundo o volume jorrado pela torneira é V = 2L = 2000 cm³.

Calcule a altura que o nível da água sobe a cada segundo. V = A.h  2000 = 40.h  h = 50 cm = 0,5 m. Desta maneira, a velocidade com que o nível da água sobe é: V = h/t = 0,5/1 = 0,5 m/s.

17. a) 1           

I. ΔS = 100/5 = 20 km = 20.18 = 360 cm = 3600 mm.

II. Δt = 1 h = 3600 s.

III. V_m = ΔS/Δt = 3600/3600 = 1 mm/s.

18. c) 12 min         

V_M = ΔS/Δt  Δt = (45 – 30)/72 = 15/72 = 5/24 h = (5/24).60 = 300/24 = 12,5 min.

19. b) 2,0 h        

V_x = tg α_x = 40/0,8 = 50 km/h.

V_y = tg α_y = (70 – 50)/0,8 = 25 km/h.

Posições iniciais: S_0x = 0 e S_0y = 50 km

As equações horárias da posição: (S = S₀ + Vt)

S_x = 50t e S_y = 50 + 25t

No encontro S_x = S_y  50t = 50 + 25t  25t = 50  t = 2 h

20. d) um ônibus desenvolvendo uma velocidade média de 70 km/h chegaria primeiro, se tivesse saído junto com o automóvel.

I. V_m = ΔS/Δt = 300/5 = 60 km/h.

II. Como 70 > 60, logo o ônibus chegaria primeiro.

III. Para t = 2 h, o móvel pode ter percorrido outro valor diferente de 120 km.

21. c) velocidade escalar.

O gráfico a x t resulta na variação da velocidade escalar.

                                 

22. c) 4,0 m/s²      

V² = V₀² + 2.a.ΔS  0² = 20² + 2.a.50  a = - 400/100 = – 4 m/s²     = 4 m/s².

23. b) 1 m/s²; 8 m    

a = (4 – 3)/(1 – 0) = 1/1 = 1 m/s².

ΔS = b.h = (3 – 1).4 = 2.4 = 8 m.

24. a)                                  

Na primeira metade a água vai subir lentamente com velocidade decrescente e na segunda parte ocorre o contrário e a velocidade é crescente.

Obs.: A opção B seria correta se o vaso fosse cilíndrico e a C se o vaso tivesse a forma de uma ampulheta.

25. d) 72 

V_M = (12 + 20 + 4)/(10 + 15 + 5) = 36 km/30 min = 36 km/0,5 h = 72 km/h.

26. c) 100                           

V² = V₀² + 2.a.ΔS  0² = 10² + 2.a.0,5  a = - 100/1 = – 100 m/s²     = 100 m/s².

27. d) 75

Para o deslocamento de A:

ΔS_A = A₁ + A₂ + A₃ = B.H + (B + b).H/2 + B.H = 20.40 + (40 + 10).30/2 + (T – 50).10 = 800 + 750 + 10.T – 500 = 1050 + 10.T.

Para o deslocamento de B:

ΔS_B = A₁ = (B + b).H/2 = (T + T - 30).30/2 = 30.T – 450 .

Fazendo ΔS_A = ΔS_B , temos:

1050 + 10.T = 30.T – 450  20.T = 1500   T = 1500/20 = 75 s.

 

28. c) v(t) = - t + 60        

a = ΔV/ΔT = (10 – 40)/(50 – 20) = –  30/30 = – 1 m/s².

T_{(20 – 50)} = T – 20.

V = V₀ + a.T_{(20 – 50)} = 40 – 1.(T – 20) = 60 – T = – T + 60.

29. a) 25      

V = 60 – T  35 = 60 – T  T = 60 – 35 = 25 s.

30. b)                                                           

Entre 0 e 2 s temos: ΔS = b.h/2 = 6.2/2 = 6 m. (com a > 0)

Entre 2 s e 4 s temos: ΔS =  b.h/2 =  6.2/2 = 6 m. (com a < 0)

Logo nos primeiros 2 s o móvel percorreu 6 m e nos dois segundos seguintes mais 6 m resultando em 12 m.

31. d) a velocidade é constante, igual a 2 m/s.

I. V = [10 – (– 10)/(10 – 0) = 20/10 = 2 m/s.

II. O móvel não inverte de sentido de acordo com o gráfico acima.

III. Em t = 5 s  V = 2 m/s.

IV. ΔS = 10 – (– 10) = 20 m.

32. a) aceleração média entre 0 e 10s é 2 m/s².

I. a = ΔV/Δt = (30 – 10)/10 = 20/10 = 2 m/s².

II. entre 0 e 40 s é uniformemente variado.

III. ΔS = (B + b).h/2 + b.h/2 = (30 + 10).10/2 + 30.30/2 = 40.5 + 450 = 650 m.

V_m = ΔS/Δt = 650/40 = 16,25 m/s.

IV. entre 10 s e 40 s  ΔS = b.h/2 = 30.30/2 = 900/2 = 450 m.

33. a) 5 s                     

0 = - 10 + 2t  t = 10/2 = 5 s.

34. d) 2 cm/ano

Do gráfico temos: Para ΔS = 1200 km = 1200.10⁶ cm  Δt = 60.10⁶ anos.

V_m = ΔS/Δt = 1200.10⁶/60.10⁶ = 2 cm/anos.

35. a)

Para o gráfico A (M.U.): V_A = ΔS/Δt = (6 – 2)/(3 – 0) = 4/3 = 1,3 m/s.

Para o gráfico B (M.U.V.): Entre 2 s a 4 s  ΔS = V₀.t + a.t²/2   10 – 2 = 0.t + a.(4 – 2)²/2   8 = 2a   a = 4 m/s². (sabendo que no instante do vértice da parábola sua velocidade é nula)

Entre 2 s a 3 s  V = V₀ + a.t = 0 + 4.(3 – 2) = 4.1 = 4 m/s.

Para o gráfico C (M.H.S.): V = – ω.A.cos(ωt + φ₀)    = (2π.A/T).cos  = (2π.6/4).cos  = 3π.cos(2π) = 3π.1 = 3π = 3.3,14 = 9,4 m/s.

36. b) 22,2         

t₁ = 70/20 = 3,5 cm/s e t₂ = 30/30 = 1 cm/s.

V_m = ΔS/Δt = (70 + 30)/(3,5 + 1) = 100/4,5 = 22,2 cm/s.

37. d) 2,75

I. Durante a reação: V = ΔS/Δt  Δt = 15/20 = 0,75 s. (72 km/h = 20 m/s)

II. Durante a frenagem: V_m = (V + V₀)/2 = (0 + 20)/2 = 20/2 = 10 m/s.

Então: V = ΔS/Δt  Δt = 20/10 = 2 s.

III. O tempo total: Δt = 2 + 0,75 = 2,75 s.

38. d)  3 horas

Vazão = 200.000 m³/s = 2.10⁵ m³/s e o Volume = 2.000.000.000.000 L = 2.10¹² dm³ = 2.10⁹ m³.

2.10⁵ m³ ------- 1 s

2.10⁹ m³ ------- x

x = 2.10⁹/2.10⁵ = 10⁴ s = 10.000 s = 10.000/3600 = 3 h.

39. d) a velocidade média do objeto no intervalo de 4 a 6 s foi de 2,5 m/s.

I. V_média =ΔS /Δt =(14 – 9)/(6 – 4) = 2,5 m/s.

II. No intervalo de 0 a 6 s o movimento é uniformemente variado.

III. O objeto partiu da posição zero, mas poderia ter uma velocidade inicial.

IV. O móvel poderia ter assumido qualquer velocidade diferente de 3 m/s.

40. c) a maior vantagem que a lebre é capaz de abrir em relação à tartaruga é de 3m.

A cada ∆t de 33 s a tartaruga adquire uma vantagem de 0,3 m sobre a lebre, enquanto em cada 3 s de corrida a lebre desconta 2,7 m. A maior vantagem que a lebre pode obter sobre a tartaruga vai ser de 2,7 m ao fim dos primeiros 3 s de corrida, 1ª etapa de corrida da lebre, portanto a opção C é falsa.

41. b) 200       

Para o líder: V_L = ΔS/Δt = 20.L/Δt  L/Δt = V_L/20.

Para o retardatário: V_L = ΔS/Δt  180  = (20.L – L)/Δt  180  = 18.V_L/20   10 = V_L/20  V_L = 200 km/h.

42. c) no intervalo de 0 a 1,0 s, o objeto descreve um movimento uniforme.

I. Entre 1,5 a 2,5 s o espaço decresce tendo uma velocidade negativa.

II. V = (0 – 1)/2 = – 0,5 m/s.

III. No M.U. o gráfico é uma reta e não uma parábola.

IV. V = tgα, e no instante 2 s temos uma inclinação maior.

43. d) A variação total da velocidade do objeto, no intervalo de tempo de 0 a 8 s, foi o dobro daquela verificada entre 8 e 10s.

Entre 0 e 8 s: ΔV₁ = 0 + B.H/2 = (8 – 4).2a/2 = 4a.

Entre 8 s e 10 s: ΔV₂ = B.H/2 = (10 – 8).2a/2 = 2a = 2.ΔV₁.

44. b) 1,0        

V = ΔS/Δt = 3.12/36 = 36/36 = 1 m/s.

45. c) 100      

A₁ = (B + b).h/2 = (10 + 8).8/2 = 18.4 = 72 m.

A₂ = (B + b).h/2 = (8 + 4).2/2 = 12.1 = 12 m.

A₃ = b.h = 4.4 = 16 m.

ΔS = 72 + 12 + 16 = 100 m.

46. b) x₁ < x₃ < x₂    

Δs = área e x₁ = A₁, x­₂ = A₂, x₃ = A₃, onde:

 A₁ = (B + b).h/2 =  (8 + 2).4/2 = 10.2 = 20 m;

A₂ = b.h = 4.8 = 32 m;

A₃ = b.h/2 = 6.8/2 = 6.4 = 24 m.

Como A₁ < 20, A₂ = 32, A₃ = 24, então, x₁ < x₃ < x₂.

47. b) 4     

Do gráfico, podemos extrair os seguintes valores:

x₀ = - 2 m  (t₀ = 0)

x₁ = 0  (t₁ = 1 s)

x₂ = 6 m  (t₀ = 2 s)

Como a aceleração é constante, o movimento descrito pela partícula é um M.U.V. O gráfico posição x tempo, então foi descrito pela função: x = x₀ + V₀.t + a.t²/2, substituindo os valores extraídos, vem:

• x₁ = 0 m e t₁ = 1s:

0 = – 2 + V₀.1 + a.1²/2  2 = V₀ + 0,5.a  V₀ = 2 – 0,5.a. (I)

• x₂ = 6 m e t₂ = 2 s:

6 = – 2 + V₀.2 + a.2²/2  8 = 2.V₀ + 2.a  V₀ + a = 4. (II)

substituindo (I) em (II), vem:

V₀ + a = 4  2 – 0,5.a + a = 4  0,5.a = 2  a = 4 m/s².

48. a)

Como sabemos, o espaço é dado numericamente pela área sob a curva do gráfico v x t. Então:

ΔS = 0 + πR²/2 = π3²/2 = 9π/2 m.

49. d) 30

S₁ = V_0,1.t + a₁.t²/2 e S₂ = V₂.t, fazendo S₁ = S₂ , temos: 20.t – 5t²/2 = 5t  5t² – 30t = 0. Então t’ = 0 e t’’ = 6s. Logo S₂ = 5.6 = 30 m.

50. c) 60             

V_Y = V.sen 30⁰ e V_X  = 0. Logo V_R = 2.V_Y = 2.60.0,5 = 60 cm/s.

51. b) 7        

De acordo com a equação horária temos:

t₁ = 2 s  x₁ = 3 . 2 – 4 . 22 + 23 = –2 m.

t₂ = 4 s  x₂ = 3 . 4 – 4 . 42+ 43 = 12 m.

V_m = [12 – (–2)]/(4 – 2) = 14/2 = 7 m/s.

52. c) 20       

1ª) Para o trem 1: a_CP = V²/R  2,5 = V²/160  V² = 400   V = 20 m/s.

2ª) Para o trem 2:  Para que o passageiro, nesse trem (no ponto P), tenha a sensação de velocidade relativa nula,a velocidade do trem 2 deve ser v₂= 20m/s. Assim, ao passar pelo ponto P, o trem 1 terá a mesma direção e o mesmo sentido do trem 2. V_rel = V₁ – V₂  Como V₁ = V₂  V_rel = 0.

53. c) 84       

t₁ = 150/100 = 1,5 h e t₂ = 60/60 = 1 h.

V_m = (ΔS₁ + ΔS₂)/(t₁ + t₂) = (150 + 60)/(1,5 + 1) = 210/2,5 = 84 km/h.

54. d) 175 m

Posições iniciais: S_0A = 25 m e S_0B = 75 m.

As equações horárias da posição: (S = S₀ + Vt)

S_A = 25 + V_A.t e S_B = 75 + V_B.t.

No encontro S_A = S_B  25 + V_A.t = 75 + V_B.t  V_A.t – V_B.t = 50    3.V_B/2 – V_B.t = 50    V_B.t = 100.  

Logo, substituíndo na equação do ponto B, teremos: S_B = 75 + V_B.t = 75 + 100 = 175 m.

55. b) 48 m e 20 m/s  (NULA)  

Do gráfico, podemos extrair os seguintes valores:

x₀ = - 2 m  (t₀ = 0)

x₁ = 0  (t₁ = 1 s)

x₃ = 10 m  (t₃ = 3 s)

Como a aceleração é constante, o movimento descrito pela partícula é um M.U.V. O gráfico posição x tempo, então foi descrito pela função: x = x₀ + V₀.t + a.t²/2, substituindo os valores extraídos, vem:

• x₁ = 0 m e t₁ = 1s: (V₀ = 0  repouso)

0 = – 2 + 0.1 + a.1²/2  2 = 0 + 0,5.a  a = 2/0,5 = 4 m/s².

• Para t = 5 s: S = – 2 + 0.5 + 4.5²/2 = – 2 + 2.25 = 48 m e  V = V₀ + a.t = 0 + 4.5 = 20 m/s.

Porém:

• x₃ = 10 m e t₃ = 3 s:

10 = – 2 + 0.2 + a.3²/2  12 = 9.a/2  a = 8/3 m/s².

• Para t = 5 s: S = – 2 + 0.5 + (8/3).5²/2 = – 2 + 100/3 = 94/3 m e  V = V₀ + a.t = 0 + (8/3).5 = 40/3 m/s.

Conclui-se que a questão pode ter duas respostas diferentes em tempos diferentes, logo a questão está nula.

56. d) 2,5

A aceleração média é definida por a = Δv/Δt, logo: a = (V₂ – V₁)/2 = (3,0.i – 4,0.k)/2 = 1,5.i – 2,0.k.

Portanto, o módulo da aceleração será: | a |² = 1,5² + 2²   | a | = 2,5 m/s².

57. b) 20.       

Para t = 0  x(0) = y(0) = 0 e para t = 4s  x(4) = 3.4 = 12 cm e y(4) = 4³ – 12.4 = 16 cm. O deslocamento será dado por: d² = (12 – 0)² + (16 – 0)²   d = 20 cm.

58. c) 0.         

Analisando o gráfico da questão, obtemos a acele­ração de cada móvel, de modo que:

a_C = (0 – V)/(10 – 0) = – V/10 e a_A = (V – 0)/(10 – 0) = V/10.

Também pelo gráfico, podemos determinar o espaço percorrido (“área” sobre a curva) para cada móvel, de modo que:  ΔS_A = ΔS_C = b.h/2 = V.10/2 = 5V.

Logo: d = ΔS_C – ΔS_A → d = 0.

59. c) 30,8 m/s.         

A distância percorrida pelo carro é: D = 38.986,4 – 38.692,4 = 294 km = 294.000 m.

O intervalo de tempo gasto, em segundos, é: Dt = (2 ´ 3.600) + (38 ´ 60) + 55 = 9.535 s.

Calculando a velocidade escalar média:  V_M = D/Δt = 294000/9535  = 30,8 m/s.  

60. d) nos instantes t₂ e t₃ a resultante das forças atuando no corpo é diferente de zero.

Em t₁: temos um M.R.U.V sendo acelerado e progressivo.

Em t₂: temos um M.R.U.V sendo retrógrado. (sofre desaceleração)

Em t₃: temos um M.R.U.V sendo acelerado.

Em t₄: temos um M.R.U. sendo progressivo. (o corpo está em equilíbrio)

Conclui-se que em t₁, t₂ e t₃ tem aceleração, logo terá aplicação de uma força, e todas de valores diferentes.

61. b) (segundo)^-1.       

I. v’ = v/v₀  v₀ = v/v^’.

II. v = v₀ + at = v/v^’ + at (dividindo todos os termos por v)  1 = 1/v^’ + at/v  v^’ = 1 + a’t.

III. a^’ = a/v = m.s^-2/m.s^-1 = s^-1.

62. a) 3 segundos    

ΔS = V₀.t + a.t²/2   90 = 0 + 20.t²/2    90 = 10.t²   t² = 9  t = 3 s.

63. b) 612      

t_AR – t_ÁGUA = 1,35  d/340 – d/4.340 = 1,35  (4d – d)/4.340 = 1,35  3d = 4.340.1,35  d = 4.340.0,45 = 612 m. Ou:

d/340 – d/4.340 = 1,35  d.(1 – 0,25)/340 = 1,35  d/340 = 1,8  d = 612 m.