TURMA OLÍMPICA - OBF E OPF (DERIVADA E CINEMÁTICA)

MÓDULO 2 –DERIVADA e M.R.U.

01. (ITA 87) Uma gota d'água cai verticalmente através do ar, de tal forma que sua altura h, medida em metros a partir do solo, varia com o tempo (em segundos) de acordo com a equação: h = 0,90 - 0,30 t - 9,3.·10^-2e^{-3,2 t}.

Podemos afirmar que sua velocidade em cm/s obedece à lei:

a) v = 9,8·10² t.
b) v = -30 + 28,83 e^{-3,2 t}.
c) v = -30 + 30 e^{-3,2 t}.
d) v = 30 e^{-3,2 t}.
e) v = 30 - 9,3 e^{-3,2 t}.

V = dh/dt = - 0,3 – 9,3.10^-2.e^-3,3t.(-3.2), em CGS temos: V = – 30 + 29,76.e^-3,3t = – 30 + 30.e^-3,3t.

02.(ITA 91) A equação x = 1,0.sen(2,0t) expressa a posição de uma partícula em unidades do sistema internacional. Qual seria a forma do gráfico v (velocidade) versus x (posição) desta partícula?

a) Uma reta paralela ao eixo de posição.

b) Uma reta inclinada passando pela origem.

c) Uma parábola.

d) Uma circunferência.

e) Uma elipse.

V = dx/dt = 2cos(2t). Elevando as duas equações ao quadrado, tem-se x² = sen²2t e v² = 4cos²2t, sabendo que sen²θ + cos²θ = 1, então x² + (v²/4) = 1 e que a equação de uma elipse é dada por x²/a² + y²/b² = 1.

03. (OBF-2000) A equação horária de um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é: s = 20 + 2t – 0,5t². A equação da velocidade deste móvel é:

a) v = 2 – t.      b) v = 2 – 0,5t.      c) v = 20 – 0,5t.      d) v = 20 + 2t.      e) v = 20 – t.

V = dS/dt = 2 – 0,5.2.t^{2 – 1} = 2 – t.

04. (UFSC) Uma partícula, realizando um movimento retilíneo, desloca-se segundo a equação x = – 2 – 4t + 2t², em que x é medido em metros e t, em segundos. Qual é o módulo da velocidade média, em m/s, dessa partícula entre os instantes t = 0 s e t = 4 s?

V = dS/dt =  – 4 + 4t, logo V₀ = – 4 + 4.0 = – 4 m/s e V = – 4 + 4.4 = – 4 + 16 = 12 m/s, logo V_M = (– 4 + 12)/2 = 8/2 = 4 m/s.

05. A função horária do espaço referente ao movimento de uma partícula é s = 5t³ – 6t, válida no SI. Determine:

a) a função horária da velocidade escalar instantânea;

b) a velocidade escalar no instante 2 s;

c) a função horária da aceleração escalar instantânea;

d) a aceleração escalar no instante 2 s.

a) V = dS/dt = 15t² – 6

b) V = 15t² – 6 = 15.2² – 6 = 60 – 6 = 54 m/s.

c) a = dv/dt = 30t

d) a = 30.2 = 60 m/s².

06.(OPF 2001) O professor Rômulo e seus alunos fazem uma excursão e viajam pela Via Anhanguera, de Jundiaí – km 60 até Ribeirão Preto – km 330. O ônibus parte as 10 h, passa por Limeira – km 150 – as 11 h e 30 min e prossegue a viagem até o objetivo final.

a) Qual a distância percorrida pelo ônibus até Limeira?

b) Qual o tempo que o ônibus gasta para o trecho Jundiaí – Limeira?

c) Qual a velocidade média do ônibus no trecho Jundiaí-Limeira?

d) Se o ônibus mantiver a mesma velocidade média e não parar durante o trajeto, a que “horas” ele chegaria a Ribeirão Preto?

e) Para que o ônibus chegue a Ribeirão Preto as 13 h, qual deve ser a velocidade média do ônibus?

a) d = ΔS = 150 – 60 = 90 km.

b) Δt = 11.5 – 10 = 1,5 h.

c) v = ΔS/Δt = 90/1,5 = 60 km/h.

d) v = ΔS/Δt  60 = 180/Δt  Δt = 3 h.

07.(OPF 2001) Oscar, de 2,05 m de altura, e seu amigo João, de apenas 1,60 m, partem juntos para uma caminhada de 5,0 km ao longo de uma pista de preparação física. Com passadas que medem o dobro das de João, Oscar caminhou os primeiros 2,0 km, tendo sempre ao seu lado seu companheiro João, quando teve

de parar por um momento, mas pediu que João seguisse em frente. João manteve o seu ritmo e depois de certo tempo Oscar o alcança, completando a caminhada lado a lado.

Podemos afirmar que:

a) nos primeiros 2,0 km, a velocidade de Oscar é o dobro da de João.

b) nos primeiros 2,0 km, a velocidade de João foi o dobro da de Oscar.

c) ambos completaram a caminhada de 5,0 km com a mesma velocidade escalar média.

d) ao longo dos 5,0 km, a velocidade escalar média de Oscar foi maior que a de João.

e) como as passadas de Oscar medem o dobro das de João, a velocidade de Oscar sempre foi maior que a de João.

Como chegaram juntos, eles apresentam a mesma velocidade média.

08.(OPF 2006) “Após realização de estudo técnico o Departamento de Estradas de Rodagem – DER reduziu o limite de velocidade para veículos de passeio na rodovia Raposo Tavares (SP-270) de 100 km/h para 90 km/h. A medida passa a valer a partir de segunda-feira (03/07) entre os quilômetros 10 e 35, no trecho entre os municípios de São Paulo e Cotia. A velocidade para veículos comerciais – ônibus e caminhões – continua mantida em 80 km/h.”

(fragmento adaptado de www.der.sp.gov.br)

Considere um veículo de passeio que mantém sua velocidade constante e igual ao limite de velocidade permitido na SP-270. Com a entrada em vigor dessa determinação do DER, qual o aumento no seu tempo de viagem entre São Paulo e Cotia?

a) 5/2 h        b) 1/36 h        c) 5/18 h        d) 1/16 h        e) 1/4 h

09.(OPF 2006) Considere o gráfico abaixo que representa o movimento de um carrinho de brinquedo sobre uma pista horizontal. Durante qual intervalo de tempo a velocidade do carrinho manteve-se constante?

a) 0 a 5 s      b) 0 a 10 s      c) 10 s a 20 s      d) 5 s a 10 s       e) 0 a 20 s

Entre 10 s e 20 s a velocidade vale 3,0 m/s e constante.

10.(OPF 2002) João precisa chegar a São Carlos às 14 horas. Ele sabe que os ônibus viajam a uma velocidade média de 80 km/h e que a distância de São Paulo a São Carlos é de aproximadamente 320 km. Qual será o único horário de partida dos ônibus de São Paulo que permitirá a João chegar pontualmente a São Carlos?

a) 09h 00 min        b) 09h 30 min       c) 10h 00 min       d) 10h 30 min       e) 11h 00 min

v = ΔS/Δt  80 = 320/Δt  Δt = 4 h. Como ele deve chegar às 14h, então t = 14 – 4 = 10 h.

11.(OPF 2003) O gráfico ilustra a distância S em função do tempo t que um som produzido por uma pessoa atinge um obstáculo e, após a reflexão, retorna ao local onde a pessoa se encontra. A distância do obstáculo à pessoa e o valor da velocidade de propagação do som vale respectivamente:

a) 66 m e 340 m/s    b) 3,3 m e 34 m/s    c) 16,5 m e 66 m/s    d) 33 m e 330 m/s    e) 6,6 m e 3,3 m/s

O instante t = 0 representa o momento em que o som é produzido e começa a se propagar rumo ao obstáculo que após a reflexão retorna à pessoa no instante t = 0,2 s. Logo, no instante t = 0,1 s o som atinge o obstáculo. Assim, a distância pessoa-obstáculo é 33 m. Logo, a velocidade de propagação do som é Vsom = distância/tempo = 33 m/0,1s = 330 m/s.

12.(OPF  2003) No instante em que o elevador começa a subir, uma barata, que estava no teto, começa a descer ao longo da junção das paredes do elevador. Ela atinge o piso do elevador no mesmo instante que o elevador chega ao andar acionado. O elevador possui altura interna de 2,25 m, velocidade de subida igual a 2,0 m/s e pára depois de subir 30 m. A velocidade da barata em relação ao prédio foi de:

a) 2,0 m/s        b) 2,25 m/s        c) 2,15 m/s        d) 1,85 m/s        e) 1,5 m/s

O tempo que a barata “gasta” para descer 2,25 m é o mesmo que o elevador “gasta” para subir 30 m com velocidade 2,0 m/s ou seja t = 15 s. Como a barata desce e o elevador sobe, em relação ao prédio, a barata sobe 30 – 2,25 = 27,75 m. Logo, em relação ao prédio, a velocidade da barata é v = 27,75/15 = 1,85 m/s.

13.(OPF 2003) O gráfico abaixo mostra a variação de velocidade de ambos os carros desde o instante em que A começa a se movimentar até 15 segundos após. Das afirmações abaixo assinale aquela que é verdadeira.

a) O carro A alcança B depois em t = 3,75 s.

b) No intervalo 0 - 15 s o carro A não alcança B.

c) Quando os velocímetros dos carros marcam a mesma velocidade A está cerca de 28 metros na frente de B.

d) No instante t = 15 s o carro A está 25 metros na frente de B.

e) O carro A ultrapassa B no instante t = 5 s.

I. Alternativa “a”: t = 3,75 s é o instante em que A e B possuem a mesma velocidade (intersecção entre os 2 gráficos).

II. Alternativa “b”: De 0 a 15 s o carro B percorre a distância d_B = 15x15 = 225 m e o carro A percorre d_A = (20x5)/2 + (20x10) = 250 m. Logo no intervalo de tempo 0-15 s o carro A ultrapassa B.

III. Alternativa “c”: As velocidades são iguais para t = 3,75 s e até este instante, o carro B percorre d_B = 15x3,75 = 56,25 m e o carro A percorre d_A = [15x3,75]/2 = 28,125 m. Portanto o carro B encontra-se 28,125 m na frente do carro A.

IV. Alternativa “d”: Conforme análise da alternativa “b” no instante t = 15 s o carro A está 25 m na frente de B.

V. Alternativa “e”: Até o instante t = 5 s o carro B percorre d_B = 15x5 = 75 m e o carro A percorre d_A = [20x5]/2 = 50 m. Portanto, no instante t = 5s o carro ainda não ultrapassou o carro B.